Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}\)
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Tích phân suy rộng \(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}\) có điểm kỳ dị tại \(x = 9\). Ta cần xét sự hội tụ tại điểm này.
Ta có thể viết lại tích phân như sau:
\(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} = \int\limits_0^9 {\frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 9}}dx}\)
Xét cận trên của tích phân, khi \(x\) tiến gần đến 9, ta có \(x-9 \to 0\), do đó \(\frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 9}}\) tiến đến vô cùng. Để xét sự hội tụ, ta so sánh với hàm \(\frac{1}{{x - 9}}\). Tuy nhiên, cách này không trực tiếp kết luận được.
Thay vào đó, ta xét tích phân không xác định:
\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} \)
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\), ta có:
\(\int {\frac{{2tdt}}{{t - 3}}} = 2\int {\frac{{t - 3 + 3}}{{t - 3}}dt} = 2\int {\left( {1 + \frac{3}{{t - 3}}} \right)dt} = 2\left( {t + 3\ln \left| {t - 3} \right|} \right) + C = 2\sqrt x + 6\ln \left| {\sqrt x - 3} \right| + C\)
Do đó:
\(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to {9^ - }} \left[ {2\sqrt x + 6\ln \left| {\sqrt x - 3} \right|} \right]_0^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to {9^ - }} \left( {2\sqrt b + 6\ln \left| {\sqrt b - 3} \right| - 6\ln 3} \right)\)
Khi \(b \to {9^ - }\), \(\sqrt b \to 3\), do đó \(\ln \left| {\sqrt b - 3} \right| \to - \infty \). Vậy tích phân suy rộng này phân kỳ.
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
