Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(y = {e^{ - 1/\left| x \right|}}\) và cho biết nó thuộc loại nào?

Ta có \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\)
Khi x > 0 thì \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\)
Suy ra \({f'_ + }(0) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2 - 2}}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} (x - 3) = - 3\)

Để tính f'(0), ta sử dụng định nghĩa đạo hàm:
f'(0) = lim (x->0) [f(x) - f(0)] / (x - 0) = lim (x->0) f(x) / x
Trong trường hợp này, ta cần xét giới hạn một bên:
- Giới hạn phải: lim (x->0+) e^(1/x) / x = +∞ (vì e^(1/x) tiến tới +∞ và x tiến tới 0+)
- Giới hạn trái: lim (x->0-) e^(1/x) / x = 0 (vì e^(1/x) tiến tới 0 và x tiến tới 0-)
Vì giới hạn phải và giới hạn trái không bằng nhau, giới hạn không tồn tại. Do đó, f'(0) không tồn tại.

To evaluate the limit \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/{x^2}}}\), we use the logarithm method. Let \(y = {(\cos x)^{1/{x^2}}}\). Then, \(\ln y = \frac{1}{{{x^2}}}\ln (\cos x)\). We have \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}}\). This is in the indeterminate form \(\frac{0}{0}\), so we can apply L'Hopital's rule: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{ - \sin x}}{{\cos x}}}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \tan x}}{{2x}}\) Applying L'Hopital's rule again (or using the fundamental limit \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = 1\)): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \tan x}}{{2x}} = - \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = - \frac{1}{2} \cdot 1 = - \frac{1}{2}\) Thus, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = - \frac{1}{2}\). Therefore, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = {e^{ - 1/2}}\) Hence, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/{x^2}}} = {e^{ - 1/2}}\)

Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) biểu diễn một đường elip. Khi elip này quay quanh trục Oy, ta sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có hình dạng elipsoid dẹt. Thể tích của vật thể tròn xoay này được tính bằng công thức: \(V = \int_{ - b}^b {\pi {x^2}dy} \). Từ phương trình elip, ta có \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\) hay \({x^2} = {a^2}(1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}})\). Thay vào công thức tính thể tích, ta được: \(V = \pi \int_{ - b}^b {{a^2}(1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}})dy} = \pi {a^2}\int_{ - b}^b {(1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}})dy} = \pi {a^2}[y - \frac{{{y^3}}}{{3{b^2}}}]_{ - b}^b = \pi {a^2}[(b - \frac{{{b^3}}}{{3{b^2}}}) - ( - b - \frac{{{{( - b)}^3}}}{{3{b^2}}})] = \pi {a^2}[b - \frac{b}{3} + b - \frac{b}{3}] = \pi {a^2}[2b - \frac{{2b}}{3}] = \pi {a^2}\frac{{4b}}{3} = \frac{{4\pi }}{3}b{a^2}\). Vậy đáp án đúng là \(\frac{4}{3}\pi b{a^2}\).