Đạo hàm cấp n của hàm e^ax là:

\({a^n}.{e^{ax}}\)

\({a^n-1}.{e^{ax}}\)

\({a^n}.{e^{x}}\)

Kết quả khác

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có đạo hàm bậc nhất của hàm số \(y = {e^{ax}}\) là \(y' = a{e^{ax}}\). Đạo hàm bậc hai là \(y'' = {a^2}{e^{ax}}\). Tiếp tục tính đạo hàm, ta thấy đạo hàm cấp n của hàm số \(y = {e^{ax}}\) là \({y^{(n)}} = {a^n}{e^{ax}}\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 1

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 21:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/{x^2}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

To evaluate the limit \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/{x^2}}}\), we use the logarithm method. Let \(y = {(\cos x)^{1/{x^2}}}\). Then, \(\ln y = \frac{1}{{{x^2}}}\ln (\cos x)\). We have \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}}\). This is in the indeterminate form \(\frac{0}{0}\), so we can apply L'Hopital's rule: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{ - \sin x}}{{\cos x}}}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \tan x}}{{2x}}\) Applying L'Hopital's rule again (or using the fundamental limit \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = 1\)): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \tan x}}{{2x}} = - \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = - \frac{1}{2} \cdot 1 = - \frac{1}{2}\) Thus, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = - \frac{1}{2}\). Therefore, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = {e^{ - 1/2}}\) Hence, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/{x^2}}} = {e^{ - 1/2}}\)

Câu 22:

Tính thể tích tròn xoay do \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) quay quanh Oy

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) biểu diễn một đường elip. Khi elip này quay quanh trục Oy, ta sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có hình dạng elipsoid dẹt. Thể tích của vật thể tròn xoay này được tính bằng công thức: \(V = \int_{ - b}^b {\pi {x^2}dy} \). Từ phương trình elip, ta có \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\) hay \({x^2} = {a^2}(1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}})\). Thay vào công thức tính thể tích, ta được: \(V = \pi \int_{ - b}^b {{a^2}(1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}})dy} = \pi {a^2}\int_{ - b}^b {(1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}})dy} = \pi {a^2}[y - \frac{{{y^3}}}{{3{b^2}}}]_{ - b}^b = \pi {a^2}[(b - \frac{{{b^3}}}{{3{b^2}}}) - ( - b - \frac{{{{( - b)}^3}}}{{3{b^2}}})] = \pi {a^2}[b - \frac{b}{3} + b - \frac{b}{3}] = \pi {a^2}[2b - \frac{{2b}}{3}] = \pi {a^2}\frac{{4b}}{3} = \frac{{4\pi }}{3}b{a^2}\). Vậy đáp án đúng là \(\frac{4}{3}\pi b{a^2}\).

Câu 23:

Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T thì:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì T có nghĩa là f(x + T) = f(x) với mọi x. Tính chất quan trọng của tích phân hàm tuần hoàn là tích phân trên một khoảng có độ dài bằng chu kì T là không đổi, không phụ thuộc vào vị trí bắt đầu của khoảng đó. Cụ thể, ta có:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)

Bây giờ, ta cần biến đổi đáp án sao cho nó có dạng tương tự.

Ta có:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_a^T f(x) dx + \int_T^{a+T} f(x) dx\)

Đặt \(u = x - T\) trong tích phân thứ hai, suy ra \(x = u + T\) và \(dx = du\). Khi \(x = T\) thì \(u = 0\), và khi \(x = a + T\) thì \(u = a\). Do đó:

\(\int_T^{a+T} f(x) dx = \int_0^a f(u+T) du = \int_0^a f(u) du = \int_0^a f(x) dx\)

Vậy,

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_a^T f(x) dx + \int_0^a f(x) dx = - \int_T^a f(x) dx + \int_0^a f(x) dx\)

Tuy nhiên, không có đáp án nào phù hợp với biến đổi này. Xét tích phân từ a đến a+T, ta có thể viết:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)

Mà \(\int_0^T f(x) dx \) là một hằng số (không phụ thuộc vào a). Vậy đáp án chính xác phải thể hiện mối liên hệ đó. Đáp án 2 có vẻ gần đúng nhất, nhưng ta cần kiểm tra lại.

Ta có:
\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_a^0 f(x) dx + \int_0^{a+T} f(x) dx = -\int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(x) dx + \int_a^{a+T} f(x) dx\)
\(\Rightarrow \int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^{T} f(x) dx\). Điều này đúng.

Vậy đáp án đúng là đáp án số 2: \(\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx = \int\limits_0^T {f(x)dx} } \), nhưng vì \(\int\limits_0^{T} {f(x)dx} \) là hằng số nên \(\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx} \) phải bằng \(\int\limits_0^{a} {f(x)dx} \) khi và chỉ khi \(\int\limits_0^{T} {f(x)dx} = \int\limits_0^{a} {f(x)dx} \), điều này không đúng trong mọi trường hợp.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng đề bài cho \(\int_a^{a+T} f(x) dx\), không có đáp án nào đúng hoàn toàn. Đáp án 2 là gần đúng nhất trong các đáp án đưa ra.

Câu 24:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = - 2{x^2} + 3x + 6\) và đường thẳng \(y=x+2\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đường cong:
Giải phương trình \( - 2{x^2} + 3x + 6 = x + 2\)
\( \Leftrightarrow - 2{x^2} + 2x + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow (x - 2)(x + 1) = 0\)
Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = -1\). Đây là cận tích phân.

2. Tính tích phân xác định:
Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức:
\(S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx\), trong đó \(f(x) = - 2{x^2} + 3x + 6\) và \(g(x) = x + 2\), \(a = -1\), \(b = 2\)
\(S = \int_{-1}^{2} |(- 2{x^2} + 3x + 6) - (x + 2)| dx = \int_{-1}^{2} |- 2{x^2} + 2x + 4| dx\)
\(S = \int_{-1}^{2} (- 2{x^2} + 2x + 4) dx = \left[ -\frac{2}{3}{x^3} + {x^2} + 4x \right]_{-1}^{2}\)
\(S = \left( -\frac{2}{3}{(2)^3} + {(2)^2} + 4(2) \right) - \left( -\frac{2}{3}{(-1)^3} + {(-1)^2} + 4(-1) \right)\)
\(S = \left( -\frac{16}{3} + 4 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} + 1 - 4 \right) = \left( -\frac{16}{3} + 12 \right) - \left( \frac{2}{3} - 3 \right)\)
\(S = -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3 = 15 - \frac{18}{3} = 15 - 6 = 9\)

Vậy diện tích hình phẳng là 9.

Câu 25:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{(4 - x)\sqrt {1 - {x^2}} }}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{(4 - x)\sqrt {1 - {x^2}} }}}\), ta sử dụng phép đổi biến \(x = \cos t\), với \(t \in [0, \pi]\). Khi đó, \(dx = -\sin t dt\) và \(\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos^2 t} = \sin t\).

Tích phân trở thành:

\(\int\limits_{\pi}^0 {\frac{{ - \sin t dt}}{{(4 - \cos t)\sin t}}} = \int\limits_0^{\pi} {\frac{{dt}}{{4 - \cos t}}}\)

Tiếp tục đổi biến \(u = \tan(\frac{t}{2})\), suy ra \(dt = \frac{{2du}}{{1 + u^2}}\) và \(\cos t = \frac{{1 - u^2}}{{1 + u^2}}\). Khi \(t = 0\) thì \(u = 0\), khi \(t = \pi\) thì \(u = +\infty\).

Tích phân trở thành:

\(\int\limits_0^{+\infty} {\frac{{\frac{{2du}}{{1 + u^2}}}}{{4 - \frac{{1 - u^2}}{{1 + u^2}}}}} = \int\limits_0^{+\infty} {\frac{{2du}}{{4(1 + u^2) - (1 - u^2)}}} = \int\limits_0^{+\infty} {\frac{{2du}}{{4 + 4u^2 - 1 + u^2}}} = \int\limits_0^{+\infty} {\frac{{2du}}{{3 + 5u^2}}} = 2\int\limits_0^{+\infty} {\frac{{du}}{{5u^2 + 3}}}\\)

\(= \frac{2}{5}\int\limits_0^{+\infty} {\frac{{du}}{{u^2 + \frac{3}{5}}}} = \frac{2}{5} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \arctan\left( u \sqrt{\frac{5}{3}} \right) \bigg|_0^{+\infty} = \frac{2}{{\sqrt {15} }}\arctan\left( u \sqrt{\frac{5}{3}} \right) \bigg|_0^{+\infty} = \frac{2}{{\sqrt {15} }}\left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{{\sqrt {15} }}\\)

Vậy, kết quả của tích phân suy rộng là \(\frac{\pi}{{\sqrt {15} }}\).

Câu 26:

Cho \(S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{\pi }{{n(n + 1)}}}\). Chọn phát biểu đúng:

Lời giải: