Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{1/x}},\,x \ne 0\\ 0,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) có f'(0) là:

Ta có đạo hàm bậc nhất của hàm số \(y = {e^{ax}}\) là \(y' = a{e^{ax}}\). Đạo hàm bậc hai là \(y'' = {a^2}{e^{ax}}\). Tiếp tục tính đạo hàm, ta thấy đạo hàm cấp n của hàm số \(y = {e^{ax}}\) là \({y^{(n)}} = {a^n}{e^{ax}}\).

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/{x^2}}}\), ta có thể sử dụng phương pháp logarit hóa.

Đặt \(y = {(\cos x)^{1/{x^2}}}\), khi đó \(\ln y = \dfrac{1}{{{x^2}}}\ln (\cos x)\).

Ta cần tính giới hạn của \(\ln y\) khi \(x \to 0\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}}\)

Đây là dạng vô định \(\dfrac{0}{0}\), ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x}}}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - \tan x}}{{2x}}\)

Tiếp tục sử dụng quy tắc L'Hôpital:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - \tan x}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{2} = \dfrac{{ - 1}}{2}\)

Vậy, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = - \dfrac{1}{2}\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = {e^{ - 1/2}}\).

Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T, thì tích phân của f(x) trên một khoảng có độ dài T sẽ không phụ thuộc vào vị trí của khoảng đó. Điều này có nghĩa là tích phân từ a đến a+T sẽ bằng tích phân từ 0 đến T (hoặc bất kỳ khoảng nào khác có độ dài T).

Ta có:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)

Và:

\(\int_0^T f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_a^T f(x) dx\)

Suy ra:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_a^T f(x) dx\)

Tuy nhiên, để tìm ra đáp án chính xác trong các lựa chọn, ta cần biến đổi thêm.

Ta biết rằng:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)

Do tính tuần hoàn, ta cũng có:

\(\int_0^T f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_a^T f(x) dx\)

Nhưng biểu thức này không trực tiếp dẫn đến một trong các đáp án đã cho. Thay vào đó, ta xem xét một cách tiếp cận khác dựa trên tính chất của hàm tuần hoàn.

Xét tích phân \(\int_a^{a+T} f(x) dx\). Đặt \(u = x - a\), thì \(x = u + a\) và \(dx = du\). Khi \(x = a\) thì \(u = 0\), và khi \(x = a + T\) thì \(u = T\). Do đó:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(u + a) du\)

Vì f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T, ta có thể viết:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)

Điều này vẫn không giúp ta trực tiếp chọn một trong các đáp án.

Tuy nhiên, xét đáp án thứ 4: \(\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx = - \int\limits_T^a {f(x)dx} } \)

Ta có \(- \int\limits_T^a {f(x)dx} = \int\limits_a^T {f(x)dx} \)

Và \(\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx} = \int\limits_a^T {f(x)dx} + \int\limits_T^{a+T} {f(x)dx} \)

Vì f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T, nên \(\int\limits_a^T {f(x)dx} = \int\limits_{a+T}^{T+T} {f(x)dx} \)

Đáp án thứ 4 đúng vì \(\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx} = \int\limits_a^T {f(x)dx} \)