Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} (\arcsin x)\cot x,\,x \ne 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) liên tục trên (-1,1).

Để tìm điểm gián đoạn của hàm số \(y = {e^{ - 1/\left| x \right|}}\), ta cần xét các điểm mà hàm số không xác định hoặc không liên tục.

* Xét x = 0: Tại x = 0, biểu thức \(\frac{1}{\left| x \right|}\) không xác định. Do đó, ta cần xét giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0 từ bên trái và bên phải.

* \(\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} {e^{ - 1/x}} = 0\)
* \(\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} {e^{ - 1/\left( { - x} \right)}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} {e^{1/x}} = 0\)

Vì cả hai giới hạn một bên đều tồn tại và bằng nhau (bằng 0), điểm x = 0 là một điểm gián đoạn khử được (removable discontinuity). Ta có thể định nghĩa lại hàm số tại x = 0 để hàm số trở nên liên tục tại điểm đó.

Vậy, x = 0 là điểm gián đoạn khử được.

*Các phương án khác*:

* Phương án 2: \(x = \pi\) không phải là điểm gián đoạn của hàm số vì hàm số xác định và liên tục tại điểm này.
* Phương án 3: x = e không phải là điểm gián đoạn của hàm số.
* Phương án 4: x = 0 là điểm gián đoạn khử được, không phải loại 2.

Ta có \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\)
Khi x > 0 thì \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\)
Suy ra \({f'_ + }(0) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2 - 2}}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} (x - 3) = - 3\)

Để tính f'(0), ta sử dụng định nghĩa đạo hàm:
f'(0) = lim (x->0) [f(x) - f(0)] / (x - 0) = lim (x->0) f(x) / x
Trong trường hợp này, ta cần xét giới hạn một bên:
- Giới hạn phải: lim (x->0+) e^(1/x) / x = +∞ (vì e^(1/x) tiến tới +∞ và x tiến tới 0+)
- Giới hạn trái: lim (x->0-) e^(1/x) / x = 0 (vì e^(1/x) tiến tới 0 và x tiến tới 0-)
Vì giới hạn phải và giới hạn trái không bằng nhau, giới hạn không tồn tại. Do đó, f'(0) không tồn tại.

To evaluate the limit \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/{x^2}}}\), we use the logarithm method. Let \(y = {(\cos x)^{1/{x^2}}}\). Then, \(\ln y = \frac{1}{{{x^2}}}\ln (\cos x)\). We have \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}}\). This is in the indeterminate form \(\frac{0}{0}\), so we can apply L'Hopital's rule: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{ - \sin x}}{{\cos x}}}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \tan x}}{{2x}}\) Applying L'Hopital's rule again (or using the fundamental limit \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = 1\)): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \tan x}}{{2x}} = - \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = - \frac{1}{2} \cdot 1 = - \frac{1}{2}\) Thus, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = - \frac{1}{2}\). Therefore, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = {e^{ - 1/2}}\) Hence, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/{x^2}}} = {e^{ - 1/2}}\)