Khai triển Maclaurin của \(\sin (2{x^2})\) đến \(x^6\)

\(- 2{x^2} - \frac{{4{x^6}}}{3} + o({x^8})\)

\(2{x^2} + \frac{{4{x^6}}}{3} + o({x^8})\)

\(2{x^2} - \frac{{4{x^6}}}{3} + o({x^8})c\)

\(- 2{x^2} + \frac{{4{x^6}}}{3} + o({x^8})\)

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có khai triển Maclaurin của sin(x) là: \(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...\) Thay x bởi \(2x^2\), ta được: \(\sin(2x^2) = 2x^2 - \frac{(2x^2)^3}{3!} + \frac{(2x^2)^5}{5!} - ...\) \(\sin(2x^2) = 2x^2 - \frac{8x^6}{6} + \frac{32x^{10}}{120} - ...\) \(\sin(2x^2) = 2x^2 - \frac{4x^6}{3} + \frac{4x^{10}}{15} - ...\) Đến \(x^6\), ta có: \(\sin(2x^2) = 2x^2 - \frac{4x^6}{3} + o(x^8)\) Vậy, đáp án đúng là: \(2{x^2} - \frac{{4{x^6}}}{3} + o({x^8})\)

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 1

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 12:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{2{x^2} + 3}}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{2{x^2} + 3}}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}}\), ta có thể biến đổi biểu thức như sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{2{x^2} + 3}}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2{x^2} + 3}}{{2{x^2} - 1}} - 1} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2{x^2} + 3 - (2{x^2} - 1)}}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{4}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}}\)

Bây giờ, ta biến đổi để sử dụng giới hạn đặc biệt \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{4}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{4}{{2{x^2} - 1}}} \right)}^{\frac{{2{x^2} - 1}}{4}}}} \right]^{\frac{4}{{2{x^2} - 1}} \cdot {x^2}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^2}}}{{2{x^2} - 1}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{4}{{2 - \frac{1}{{{x^2}}}}}}} = {e^{\frac{4}{2}}} = {e^2}\)

Vậy giới hạn là \(e^2\).

Câu 13:

Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(f(x) = {3^{x/(1 - {x^2})}}\) và cho biết nó thuộc loại nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Hàm số \(f(x) = {3^{x/(1 - {x^2})}}\) gián đoạn khi mẫu số của số mũ bằng 0, tức là \(1-x^2 = 0\), suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = -1\).

Tại \(x = 1\) và \(x = -1\), giới hạn của \(f(x)\) tiến đến vô cùng, do đó đây là các điểm gián đoạn loại 2. Vì tại các điểm này, giới hạn không tồn tại (tiến đến vô cùng), nên không thể "khử" được.

Vậy đáp án đúng là x = 1, x = -1, loại 2.

Câu 14:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/(1 - \cos x)}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 15:

Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\cos x}}\) và cho biết nó thuộc loại nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\cos x}}\) gián đoạn khi mẫu số bằng 0, tức là \(\cos x = 0\). Điều này xảy ra khi \(x = \frac{\pi }{2} + n\pi\), với n là số nguyên. Tại các điểm này, hàm số tiến đến vô cùng, do đó đây là các điểm gián đoạn loại 2 (gián đoạn không khử được).

Câu 16:

Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} (\arcsin x)\cot x,\,x \ne 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) liên tục trên (-1,1).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có \(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\). Tính giới hạn của f(x) khi x tiến tới 0:

\(\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (\arcsin x) \cot x = \lim_{x \to 0} (\arcsin x) \frac{\cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{\sin x} \cdot \cos x\)

Ta biết \(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1\) và \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), cũng như \(\lim_{x \to 0} \cos x = 1\). Do đó:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{\sin x} \cdot \cos x = \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)

Vậy, \(\lim_{x \to 0} f(x) = 1\). Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần f(0) = a = 1.

Câu 17:

Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(y = {e^{ - 1/\left| x \right|}}\) và cho biết nó thuộc loại nào?

Lời giải: