Kiểm tra 3 sản phẩm được chọn từ lô hàng có 8 sản phẩm tốt và 6 sản phẩm xấu. Gọi A, B, C lần lượt là biến cố sản phẩm thứ 1, thứ 2, thứ3 là tốt. Khi đó ABC là biến cố:

Gọi A là biến cố "Cả 2 sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm".
Số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm là: C(2,10) = 10! / (2! * 8!) = (10 * 9) / 2 = 45.
Số cách chọn 2 phế phẩm từ 2 phế phẩm là: C(2,2) = 1.
Vậy P(A) = 1/45 ≈ 0.022.

Gọi A, B, C là các biến cố đã cho. Ta có P(A) = 1/2, P(B) = 2/3, P(C) = 1/4.

Biến cố "ít nhất một biến cố xảy ra" là A ∪ B ∪ C.

Vì A, B, C độc lập, ta có:
P(A ∪ B ∪ C) = 1 - P((A ∪ B ∪ C)ᶜ) = 1 - P(Aᶜ ∩ Bᶜ ∩ Cᶜ) = 1 - P(Aᶜ)P(Bᶜ)P(Cᶜ)

Ta có:
P(Aᶜ) = 1 - P(A) = 1 - 1/2 = 1/2
P(Bᶜ) = 1 - P(B) = 1 - 2/3 = 1/3
P(Cᶜ) = 1 - P(C) = 1 - 1/4 = 3/4

Vậy P(A ∪ B ∪ C) = 1 - (1/2)(1/3)(3/4) = 1 - 1/8 = 7/8.

Vậy xác suất để ít nhất một biến cố xảy ra là 7/8.

Để tính P(1.25 > X > -0.25), ta cần tính tích phân của hàm mật độ f(x) trên khoảng (-0.25, 1.25).

Ta có:

\(P(1.25 > X > -0.25) = \int_{-0.25}^{1.25} f(x) dx = \int_{-0.25}^{1.25} \frac{x^2}{3} dx\)

Tính tích phân:

\(\int_{-0.25}^{1.25} \frac{x^2}{3} dx = \frac{1}{3} \int_{-0.25}^{1.25} x^2 dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-0.25}^{1.25} = \frac{1}{9} \left[ (1.25)^3 - (-0.25)^3 \right] \)

\(= \frac{1}{9} \left[ 1.953125 - (-0.015625) \right] = \frac{1}{9} \left[ 1.96875 \right] = 0.21875\)

Vậy, P(1.25 > X > -0.25) = 0.21875

Gọi A là biến cố "mỗi phần đều có 1 hộp sữa kém chất lượng".

* Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu.
* Chia 9 hộp sữa thành 3 phần bằng nhau, mỗi phần 3 hộp, ta thực hiện như sau:
* Chọn 3 hộp từ 9 hộp cho phần thứ nhất: Có C(9, 3) cách.
* Chọn 3 hộp từ 6 hộp còn lại cho phần thứ hai: Có C(6, 3) cách.
* 3 hộp còn lại thuộc về phần thứ ba: Có 1 cách.
* Vậy có C(9, 3) * C(6, 3) * 1 cách chia. Tuy nhiên, vì 3 phần này không phân biệt thứ tự nên ta phải chia cho 3! (số hoán vị của 3 phần).
* Vậy số phần tử của không gian mẫu là: |Ω| = (C(9, 3) * C(6, 3)) / 3! = (84 * 20) / 6 = 280.

* Bước 2: Tính số phần tử của biến cố A.
* Chia 3 hộp sữa kém chất lượng vào 3 phần, mỗi phần 1 hộp: Có 3! = 6 cách.
* Sau khi chia xong 3 hộp kém chất lượng, mỗi phần còn lại 2 vị trí để xếp 6 hộp sữa tốt.
* Chọn 2 hộp từ 6 hộp tốt cho phần thứ nhất: Có C(6, 2) cách.
* Chọn 2 hộp từ 4 hộp tốt còn lại cho phần thứ hai: Có C(4, 2) cách.
* 2 hộp tốt còn lại thuộc về phần thứ ba: Có 1 cách.
* Vậy có C(6, 2) * C(4, 2) * 1 cách chia 6 hộp tốt vào 3 phần. Tuy nhiên, vì 3 phần này không phân biệt thứ tự nên ta phải chia cho 3! (số hoán vị của 3 phần).
* Vậy số cách chia 6 hộp tốt là: (C(6, 2) * C(4, 2)) / 3! = (15 * 6) / 2! (Do 3 phần đã có 1 hộp kém chất lượng nên ta chỉ cần chia thứ tự 2 phần còn lại) = 45.
* Số phần tử của biến cố A là: |A| = 6 * (C(6, 2) * C(4, 2))/2! = 6 * 15 * 6 / 2 = 270.
* Chọn 2 hộp tốt trong 6 hộp tốt còn lại cho phần thứ nhất, có C(6,2) cách.
* Chọn 2 hộp tốt trong 4 hộp tốt còn lại cho phần thứ hai, có C(4,2) cách.
* 2 hộp tốt còn lại cho phần thứ ba, có C(2,2) = 1 cách.
* Vậy số cách chia 6 hộp tốt là C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) = 15*6*1 = 90 cách.
* Do 3 phần không phân biệt nên ta phải chia cho 2! = 2 => 90/2= 45 cách chia 6 hộp tốt.
* Vậy |A| = 6 * 45 = 270.

* Bước 3: Tính xác suất.
* P(A) = |A| / |Ω| = 270 / 280 = 27/28 = 135/140
* Phải chia cho 3! =6 => 90/6 = 15. => 6*15 = 90
Vậy P(A) = 90/280 = 9/28

* Cách khác:
Số cách chia 9 hộp sữa thành 3 phần bằng nhau là C(9,3)*C(6,3)*C(3,3)/3! = 1680/6 = 280 cách
Số cách chia mỗi phần 1 hộp kém chất lượng: 3! * C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/3! = 6 * 15 * 6 * 1/2!= 270
Xác suất là 270/1680 = 9/28