Cho ba biến cố độc lập A, B, C với P(A)=1/2, P(B)=2/3, P(C)=1/4. Xác suất để ít nhất một biến cố xảy ra:

Để tính P(1.25 > X > -0.25), ta cần tính tích phân của hàm mật độ f(x) trên khoảng (-0.25, 1.25).

Ta có:

\(P(1.25 > X > -0.25) = \int_{-0.25}^{1.25} f(x) dx = \int_{-0.25}^{1.25} \frac{x^2}{3} dx\)

Tính tích phân:

\(\int_{-0.25}^{1.25} \frac{x^2}{3} dx = \frac{1}{3} \int_{-0.25}^{1.25} x^2 dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-0.25}^{1.25} = \frac{1}{9} \left[ (1.25)^3 - (-0.25)^3 \right] \)

\(= \frac{1}{9} \left[ 1.953125 - (-0.015625) \right] = \frac{1}{9} \left[ 1.96875 \right] = 0.21875\)

Vậy, P(1.25 > X > -0.25) = 0.21875

Gọi A là biến cố "mỗi phần đều có 1 hộp sữa kém chất lượng".

* Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu.
* Chia 9 hộp sữa thành 3 phần bằng nhau, mỗi phần 3 hộp, ta thực hiện như sau:
* Chọn 3 hộp từ 9 hộp cho phần thứ nhất: Có C(9, 3) cách.
* Chọn 3 hộp từ 6 hộp còn lại cho phần thứ hai: Có C(6, 3) cách.
* 3 hộp còn lại thuộc về phần thứ ba: Có 1 cách.
* Vậy có C(9, 3) * C(6, 3) * 1 cách chia. Tuy nhiên, vì 3 phần này không phân biệt thứ tự nên ta phải chia cho 3! (số hoán vị của 3 phần).
* Vậy số phần tử của không gian mẫu là: |Ω| = (C(9, 3) * C(6, 3)) / 3! = (84 * 20) / 6 = 280.

* Bước 2: Tính số phần tử của biến cố A.
* Chia 3 hộp sữa kém chất lượng vào 3 phần, mỗi phần 1 hộp: Có 3! = 6 cách.
* Sau khi chia xong 3 hộp kém chất lượng, mỗi phần còn lại 2 vị trí để xếp 6 hộp sữa tốt.
* Chọn 2 hộp từ 6 hộp tốt cho phần thứ nhất: Có C(6, 2) cách.
* Chọn 2 hộp từ 4 hộp tốt còn lại cho phần thứ hai: Có C(4, 2) cách.
* 2 hộp tốt còn lại thuộc về phần thứ ba: Có 1 cách.
* Vậy có C(6, 2) * C(4, 2) * 1 cách chia 6 hộp tốt vào 3 phần. Tuy nhiên, vì 3 phần này không phân biệt thứ tự nên ta phải chia cho 3! (số hoán vị của 3 phần).
* Vậy số cách chia 6 hộp tốt là: (C(6, 2) * C(4, 2)) / 3! = (15 * 6) / 2! (Do 3 phần đã có 1 hộp kém chất lượng nên ta chỉ cần chia thứ tự 2 phần còn lại) = 45.
* Số phần tử của biến cố A là: |A| = 6 * (C(6, 2) * C(4, 2))/2! = 6 * 15 * 6 / 2 = 270.
* Chọn 2 hộp tốt trong 6 hộp tốt còn lại cho phần thứ nhất, có C(6,2) cách.
* Chọn 2 hộp tốt trong 4 hộp tốt còn lại cho phần thứ hai, có C(4,2) cách.
* 2 hộp tốt còn lại cho phần thứ ba, có C(2,2) = 1 cách.
* Vậy số cách chia 6 hộp tốt là C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) = 15*6*1 = 90 cách.
* Do 3 phần không phân biệt nên ta phải chia cho 2! = 2 => 90/2= 45 cách chia 6 hộp tốt.
* Vậy |A| = 6 * 45 = 270.

* Bước 3: Tính xác suất.
* P(A) = |A| / |Ω| = 270 / 280 = 27/28 = 135/140
* Phải chia cho 3! =6 => 90/6 = 15. => 6*15 = 90
Vậy P(A) = 90/280 = 9/28

* Cách khác:
Số cách chia 9 hộp sữa thành 3 phần bằng nhau là C(9,3)*C(6,3)*C(3,3)/3! = 1680/6 = 280 cách
Số cách chia mỗi phần 1 hộp kém chất lượng: 3! * C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/3! = 6 * 15 * 6 * 1/2!= 270
Xác suất là 270/1680 = 9/28

Số cách chia 12 sinh viên thành 3 nhóm đều nhau (mỗi nhóm 4 người) là: C(12,4) * C(8,4) * C(4,4) / 3! = (12!)/(4!4!4!3!) = 34650
Số cách chia 3 nữ sinh vào 3 nhóm sao cho mỗi nhóm có 1 nữ là: 3!
Sau khi chia 3 nữ vào 3 nhóm, ta còn 9 nam sinh. Số cách chia 9 nam sinh vào 3 nhóm (mỗi nhóm 3 người) là: C(9,3) * C(6,3) * C(3,3) / 3! = (9!)/(3!3!3!3!) = 280
Số cách chia để mỗi nhóm có 1 nữ sinh là: 3! * 280 = 6 * 280 = 1680
Xác suất để mỗi nhóm có 1 sinh viên nữ là: 1680 / 34650 = 0.0485

Tuy nhiên, cách tính trên không khớp với bất kỳ đáp án nào. Ta sẽ làm theo cách khác.

Chọn 4 người vào nhóm 1: C(12,4) cách
Chọn 4 người vào nhóm 2: C(8,4) cách
Chọn 4 người vào nhóm 3: C(4,4) cách

Tổng số cách chia: C(12,4)*C(8,4)*C(4,4) = 495*70*1 = 34650
Vì thứ tự các nhóm không quan trọng, nên chia cho 3! = 6. Vậy tổng số cách chia là: 34650/6 = 5775

Số cách chia 3 nữ vào 3 nhóm: C(3,1)*C(3,1)*C(3,1) = 3*3*3 = 27
Chọn 3 nam cho nhóm 1: C(9,3)
Chọn 3 nam cho nhóm 2: C(6,3)
Chọn 3 nam cho nhóm 3: C(3,3)
Số cách chọn nam là: C(9,3)*C(6,3)*C(3,3) = 84*20*1 = 1680. Vì thứ tự nhóm không quan trọng, chia cho 3!: 1680/6=280

Số cách chia 3 nữ vào 3 nhóm là: 3!=6.
Sau đó chia 9 nam thành 3 nhóm: C(9,3) * C(6,3) * C(3,3) / 3! = 280.
Vậy số cách chia để mỗi nhóm có 1 nữ là 6 * 280 = 1680.
Vậy xác suất = 1680 / 5775 = 0.2909.

Vậy đáp án đúng là 0.2909

Để tính xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ 3 sản phẩm được chọn ngẫu nhiên, ta sử dụng công thức xác suất cổ điển.

Tổng số cách chọn 3 sản phẩm từ 9 sản phẩm là: C(9,3) = 9! / (3! * 6!) = (9*8*7) / (3*2*1) = 84.

Số cách chọn 2 sản phẩm tốt từ 5 sản phẩm tốt là: C(5,2) = 5! / (2! * 3!) = (5*4) / (2*1) = 10.

Số cách chọn 1 phế phẩm từ 4 phế phẩm là: C(4,1) = 4! / (1! * 3!) = 4.

Số cách chọn 2 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm là: C(5,2) * C(4,1) = 10 * 4 = 40.

Xác suất để lấy được 2 sản phẩm tốt là: P = (Số cách chọn 2 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm) / (Tổng số cách chọn 3 sản phẩm) = 40 / 84 = 10 / 21.

Vậy, xác suất cần tìm là 10/21.

Để hàm mật độ xác suất hợp lệ, tích phân của nó trên toàn miền phải bằng 1. Trong trường hợp này, miền là (0,1). Vậy ta cần giải phương trình:

∫(0 đến 1) kx dx = 1

Tính tích phân:

[kx^2 / 2] (từ 0 đến 1) = 1

k(1)^2 / 2 - k(0)^2 / 2 = 1

k / 2 = 1

k = 2

Vậy, đáp án đúng là k = 2.