Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba?

Công thức tính xác suất để biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhị thức B(n, p) nhận giá trị x là: P(X = x) = C(n, x) * p^x * (1 - p)^(n - x), trong đó C(n, x) là tổ hợp chập x của n.

Để lập một tam giác từ 6 điểm phân biệt, ta cần chọn 3 điểm từ 6 điểm đó. Số cách chọn 3 điểm từ 6 điểm là một tổ hợp chập 3 của 6, ký hiệu là C(6, 3). Công thức tính tổ hợp là: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), trong đó n! là n giai thừa. Vậy, C(6, 3) = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (3 * 2 * 1)) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 120 / 6 = 20. Vậy, có thể lập được 20 tam giác.

Số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh được tính bằng công thức: n(n-3)/2. Trong trường hợp này, đa giác có 10 cạnh, vậy số đường chéo là: 10(10-3)/2 = 10(7)/2 = 70/2 = 35.

Để bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ, ta cần chọn 1 bông hồng đỏ từ 4 bông và 6 bông còn lại từ 8 bông hồng vàng và trắng.

Số cách chọn 1 bông hồng đỏ từ 4 bông là C(4, 1) = 4.
Số cách chọn 6 bông từ 8 bông hồng vàng và trắng là C(8, 6) = C(8, 2) = (8*7)/(2*1) = 28.

Vậy, tổng số cách chọn là 4 * 28 = 112.

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù. Tính tổng số cách chọn 6 học sinh từ 12 học sinh, sau đó trừ đi các trường hợp mà có ít nhất một khối không có học sinh nào.

Tổng số cách chọn 6 học sinh từ 12 học sinh là: C(12, 6) = 12! / (6! * 6!) = 924.

Bây giờ ta tính số cách chọn mà có ít nhất một khối không có học sinh nào:

* Trường hợp 1: Không có học sinh khối 12 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 9 học sinh còn lại (4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10): C(9, 6) = 9! / (6! * 3!) = 84.
* Trường hợp 2: Không có học sinh khối 11 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 8 học sinh còn lại (3 học sinh khối 12 và 5 học sinh khối 10): C(8, 6) = 8! / (6! * 2!) = 28.
* Trường hợp 3: Không có học sinh khối 10 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 7 học sinh còn lại (3 học sinh khối 12 và 4 học sinh khối 11): C(7, 6) = 7! / (6! * 1!) = 7.

* Trường hợp 4: Không có học sinh khối 12 và khối 11 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 5 học sinh khối 10, điều này không thể xảy ra, vì số học sinh chọn lớn hơn số học sinh khối 10.
* Trường hợp 5: Không có học sinh khối 12 và khối 10 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 4 học sinh khối 11, điều này không thể xảy ra, vì số học sinh chọn lớn hơn số học sinh khối 11.
* Trường hợp 6: Không có học sinh khối 11 và khối 10 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 3 học sinh khối 12, điều này không thể xảy ra, vì số học sinh chọn lớn hơn số học sinh khối 12.

Vậy số cách chọn có ít nhất một khối không có học sinh nào là: 84 + 28 + 7 = 119.

Số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là: 924 - 119 = 805.

Vậy đáp án là 805.