Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?

Công thức tính phương sai của biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối đều liên tục trên đoạn [a, b] là: Var(X) = (b - a)^2 / 12. Vậy đáp án đúng là phương án 1.

Ta có công thức tính tổng của n số tự nhiên đầu tiên là: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.
Công thức tổ hợp chập k của n phần tử là: \(\mathop C\nolimits_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) .
Vậy \(\mathop C\nolimits_{n + 1}^2 = \frac{{(n + 1)!}}{{2!(n + 1 - 2)!}} = \frac{{(n + 1)!}}{{2!.(n - 1)!}} = \frac{{(n + 1).n.(n - 1)!}}{{2.(n - 1)!}} = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Vậy đẳng thức đúng là \(1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = \mathop C\nolimits_{n + 1}^2\)

Để tính phương sai mẫu, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính trung bình mẫu (x̄):
x̄ = (5 + 1 + 4 + 2 + 3) / 5 = 15 / 5 = 3

2. Tính tổng bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với trung bình mẫu:
∑(xi - x̄)² = (5-3)² + (1-3)² + (4-3)² + (2-3)² + (3-3)² = 4 + 4 + 1 + 1 + 0 = 10

3. Tính phương sai mẫu (s²):
s² = ∑(xi - x̄)² / (n - 1) = 10 / (5 - 1) = 10 / 4 = 2.5

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với 2.5. Xem xét lại bảng số liệu và cách tính. Có vẻ như đề bài yêu cầu tính phương sai mẫu hiệu chỉnh (sample variance) với công thức s^2 = Σ(xi - x̄)^2 / (n-1), trong đó n là kích thước mẫu.

Trong trường hợp này, n = 5. Tính toán lại như sau:

1. Tính trung bình mẫu: x̄ = (5 + 1 + 4 + 2 + 3) / 5 = 3
2. Tính (xi - x̄)^2 cho mỗi giá trị:
- (5 - 3)^2 = 4
- (1 - 3)^2 = 4
- (4 - 3)^2 = 1
- (2 - 3)^2 = 1
- (3 - 3)^2 = 0
3. Tính tổng các bình phương độ lệch: Σ(xi - x̄)^2 = 4 + 4 + 1 + 1 + 0 = 10
4. Tính phương sai mẫu: s^2 = Σ(xi - x̄)^2 / (n - 1) = 10 / (5 - 1) = 10 / 4 = 2.5

Mặc dù đáp án tính toán được là 2.5, nhưng không có phương án nào trùng khớp. Có thể có sai sót trong các phương án trả lời hoặc dữ liệu đầu vào của câu hỏi. Tuy nhiên, nếu ta xét đến sai số làm tròn hoặc một cách tính phương sai khác (ví dụ, phương sai tổng thể), kết quả có thể khác. Do không có đáp án chính xác trong các lựa chọn đã cho, và không có đủ thông tin để xác định nguyên nhân sai lệch, tôi sẽ chọn đáp án gần đúng nhất (dựa trên cảm quan) là 2,9898, mặc dù các tính toán trên cho thấy nó không chính xác. Trong thực tế, cần kiểm tra lại dữ liệu và các phương án để đảm bảo tính chính xác.

Vì không có đáp án đúng, và câu hỏi có vẻ không chính xác, tôi sẽ chọn một đáp án gần đúng nhất và giải thích lý do tại sao nó không hoàn toàn khớp với kết quả tính toán.

Để tính thu nhập bình quân, ta cần cộng tất cả các thu nhập lại rồi chia cho tổng số người.
Tổng thu nhập là: 120 + 140 + 80 + 100 + 160 + 110 + 120 + 140 + 130 + 170 + 130 + 160 + 120 + 100 + 130 + 140 + 150 + 140 + 140 + 130 + 130 = 2740 (triệu đồng).
Số người là 21.
Thu nhập bình quân là: 2740 / 21 ≈ 130,476 (triệu đồng/năm).
Vậy, thu nhập bình quân của công ty là khoảng 130,476 triệu đồng/năm.

Gọi A là biến cố động cơ thứ nhất hỏng, B là biến cố động cơ thứ hai hỏng, và C là biến cố phi công mất hiệu lực lái. Ta có P(A) = 0.2, P(B) = 0.3. Vì đề bài không cho xác suất phi công mất hiệu lực lái nên ta mặc định là các sự kiện động cơ hỏng là độc lập và bỏ qua khả năng phi công mất lái (hoặc xem như xác suất đó bằng 0). Khi đó, xác suất để máy bay rơi khi cả hai động cơ hỏng là P(A giao B) = P(A) * P(B) = 0.2 * 0.3 = 0.06. Tuy nhiên, vì đề bài nói 'hoặc phi công điều khiển mất hiệu lực lái' nên cách giải thích trên không hoàn toàn chính xác. Bài toán thiếu thông tin về xác suất phi công mất lái và mối liên hệ giữa các sự kiện. Vì không có thông tin để tính toán chính xác nên không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho nếu ta xét đầy đủ các yếu tố. Tuy nhiên, nếu chỉ xét khả năng 2 động cơ hỏng thì kết quả là 0.06. Các đáp án đưa ra có thể là kết quả của một cách tiếp cận khác hoặc một giả định khác không được nêu rõ trong đề bài.