Trong một giỏ hoa có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa coi như đôi một khác nhau). Người ta muốn làm một bó hoa gồm 7 bông được lấy từ giỏ hoa đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa biết bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ?

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù. Tính tổng số cách chọn 6 học sinh từ 12 học sinh, sau đó trừ đi các trường hợp mà có ít nhất một khối không có học sinh nào.

Tổng số cách chọn 6 học sinh từ 12 học sinh là: C(12, 6) = 12! / (6! * 6!) = 924.

Bây giờ ta tính số cách chọn mà có ít nhất một khối không có học sinh nào:

* Trường hợp 1: Không có học sinh khối 12 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 9 học sinh còn lại (4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10): C(9, 6) = 9! / (6! * 3!) = 84.
* Trường hợp 2: Không có học sinh khối 11 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 8 học sinh còn lại (3 học sinh khối 12 và 5 học sinh khối 10): C(8, 6) = 8! / (6! * 2!) = 28.
* Trường hợp 3: Không có học sinh khối 10 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 7 học sinh còn lại (3 học sinh khối 12 và 4 học sinh khối 11): C(7, 6) = 7! / (6! * 1!) = 7.

* Trường hợp 4: Không có học sinh khối 12 và khối 11 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 5 học sinh khối 10, điều này không thể xảy ra, vì số học sinh chọn lớn hơn số học sinh khối 10.
* Trường hợp 5: Không có học sinh khối 12 và khối 10 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 4 học sinh khối 11, điều này không thể xảy ra, vì số học sinh chọn lớn hơn số học sinh khối 11.
* Trường hợp 6: Không có học sinh khối 11 và khối 10 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 3 học sinh khối 12, điều này không thể xảy ra, vì số học sinh chọn lớn hơn số học sinh khối 12.

Vậy số cách chọn có ít nhất một khối không có học sinh nào là: 84 + 28 + 7 = 119.

Số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là: 924 - 119 = 805.

Vậy đáp án là 805.

Công thức tính phương sai của biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối đều liên tục trên đoạn [a, b] là: Var(X) = (b - a)^2 / 12. Vậy đáp án đúng là phương án 1.

Ta có công thức tính tổng của n số tự nhiên đầu tiên là: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.
Công thức tổ hợp chập k của n phần tử là: \(\mathop C\nolimits_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) .
Vậy \(\mathop C\nolimits_{n + 1}^2 = \frac{{(n + 1)!}}{{2!(n + 1 - 2)!}} = \frac{{(n + 1)!}}{{2!.(n - 1)!}} = \frac{{(n + 1).n.(n - 1)!}}{{2.(n - 1)!}} = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Vậy đẳng thức đúng là \(1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = \mathop C\nolimits_{n + 1}^2\)

Để tính phương sai mẫu từ bảng số liệu đã cho, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính trung bình mẫu (x̄):
x̄ = (5 + 3 + 2 + 4 + 1) / 5 = 15 / 5 = 3

2. Tính tổng bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với trung bình mẫu:
∑(xi - x̄)² = (5-3)² + (3-3)² + (2-3)² + (4-3)² + (1-3)²
= 2² + 0² + (-1)² + 1² + (-2)²
= 4 + 0 + 1 + 1 + 4 = 10

3. Tính phương sai mẫu (s²):
s² = ∑(xi - x̄)² / (n - 1) (trong đó n là kích thước mẫu)
s² = 10 / (5 - 1)
s² = 10 / 4 = 2.5

Vì vậy, phương sai mẫu là 2.5. Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp chính xác với 2.5. Có lẽ có sự sai sót trong các phương án trả lời hoặc trong dữ liệu đề bài. Nếu ta làm tròn kết quả 2.5 lên thành 3 thì đáp án gần đúng nhất là "3".

Để tính thu nhập bình quân của công ty, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính tổng thu nhập: Cộng tất cả các số liệu thu nhập đã cho.
Tổng thu nhập = 120 + 140 + 80 + 100 + 160 + 110 + 120 + 140 + 130 + 170 + 130 + 160 + 120 + 100 + 130 + 140 + 150 + 140 + 140 + 130 + 130 = 2740 (triệu đồng)

2. Tính số lượng người: Đếm số lượng người được khảo sát, ở đây là 21 người.

3. Tính thu nhập bình quân: Chia tổng thu nhập cho số lượng người.
Thu nhập bình quân = Tổng thu nhập / Số lượng người = 2740 / 21 ≈ 130.476 (triệu đồng/năm)

Vậy, thu nhập bình quân của công ty là khoảng 130,476 triệu đồng/năm.