Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

Số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh được tính bằng công thức: n(n-3)/2. Trong trường hợp này, đa giác có 10 cạnh, vậy số đường chéo là: 10(10-3)/2 = 10(7)/2 = 70/2 = 35.

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù. Tính tổng số cách chọn 6 học sinh từ 12 học sinh, sau đó trừ đi các trường hợp mà có ít nhất một khối không có học sinh nào.

Tổng số cách chọn 6 học sinh từ 12 học sinh là: C(12, 6) = 12! / (6! * 6!) = 924.

Bây giờ ta tính số cách chọn mà có ít nhất một khối không có học sinh nào:

* Trường hợp 1: Không có học sinh khối 12 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 9 học sinh còn lại (4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10): C(9, 6) = 9! / (6! * 3!) = 84.
* Trường hợp 2: Không có học sinh khối 11 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 8 học sinh còn lại (3 học sinh khối 12 và 5 học sinh khối 10): C(8, 6) = 8! / (6! * 2!) = 28.
* Trường hợp 3: Không có học sinh khối 10 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 7 học sinh còn lại (3 học sinh khối 12 và 4 học sinh khối 11): C(7, 6) = 7! / (6! * 1!) = 7.

* Trường hợp 4: Không có học sinh khối 12 và khối 11 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 5 học sinh khối 10, điều này không thể xảy ra, vì số học sinh chọn lớn hơn số học sinh khối 10.
* Trường hợp 5: Không có học sinh khối 12 và khối 10 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 4 học sinh khối 11, điều này không thể xảy ra, vì số học sinh chọn lớn hơn số học sinh khối 11.
* Trường hợp 6: Không có học sinh khối 11 và khối 10 nào. Khi đó, ta chọn 6 học sinh từ 3 học sinh khối 12, điều này không thể xảy ra, vì số học sinh chọn lớn hơn số học sinh khối 12.

Vậy số cách chọn có ít nhất một khối không có học sinh nào là: 84 + 28 + 7 = 119.

Số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là: 924 - 119 = 805.

Vậy đáp án là 805.

Công thức tính phương sai của biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối đều liên tục trên đoạn [a, b] là: Var(X) = (b - a)^2 / 12. Vậy đáp án đúng là phương án 1.

Ta có công thức tính tổng của n số tự nhiên đầu tiên là: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.
Công thức tổ hợp chập k của n phần tử là: \(\mathop C\nolimits_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) .
Vậy \(\mathop C\nolimits_{n + 1}^2 = \frac{{(n + 1)!}}{{2!(n + 1 - 2)!}} = \frac{{(n + 1)!}}{{2!.(n - 1)!}} = \frac{{(n + 1).n.(n - 1)!}}{{2.(n - 1)!}} = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Vậy đẳng thức đúng là \(1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = \mathop C\nolimits_{n + 1}^2\)