Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=75\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\left( {{m}^{2}}+2m \right)x-\left( {{m}^{2}}+4m-1 \right)y+2\left( 3m-1 \right)z+{{m}^{2}}+1=0\). A là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì khối nón có đỉnh là A, đường tròn đáy là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có thể tích bằng bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 3;-2;1 \right)\); có bán kính \(R=5\sqrt{3}\).
Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) là điểm cố định mà mặt phẳng \(\left( P \right)\) luôn đi qua. Ta có
\(\left( {{m}^{2}}+2m \right){{x}_{0}}-\left( {{m}^{2}}+4m-1 \right){{y}_{0}}+2(3m-1){{z}_{0}}+{{m}^{2}}+1=0\,\forall m\)
\(\Leftrightarrow \left( {{x}_{0}}-{{y}_{0}}+1 \right){{m}^{2}}+\left( 2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}+6{{z}_{0}} \right)m+{{y}_{0}}-2{{z}_{0}}+1=0\,\forall m\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} - {y_0} + 1 = 0}\\ {2{x_0} - 4{y_0} + 6{z_0}}\\ {{y_0} - 2{z_0} + 1 = 0} \end{array} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} = - 2}\\ {{y_0} = - 1 \Rightarrow M( - 2; - 1;0)}\\ {{z_0} = 0} \end{array}} \right.} \right.\)
Ta có \(IM=3\sqrt{3}<R\) nên M nằm trong mặt cầu. Do đó \(\left( P \right)\) luôn cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn.
Ta có \(d\left( A,\left( P \right) \right)\le R+d\left( I,\left( P \right) \right)\le R+IM=5\sqrt{3}+3\sqrt{3}=8\sqrt{3}\).
Trong trường hợp này đường tròn đáy là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có bán kình \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{M}^{2}}}=4\sqrt{3}\).
Khi đó \({{V}_{N}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=128\pi \sqrt{3}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
.PNG)
Đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}, f\left( -2 \right)=\frac{3}{2}\) và \(f\left( 2 \right)=2\ln 2-\frac{3}{2}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)\) bằng
-
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x-4\) trên \(\left[ -4;0 \right]\) lần lượt là M và m. Giá trị của M+m bằng
-
Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}}\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=0;f\left( 4 \right)>4\). Biết hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-2x \right|\).
.PNG)
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \(AB=A{{A}^{'}}=a,AD=2a\), (tham khảo hình bên).
.png)
Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) là \(\alpha \). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng
-
Cho \(\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=10\). Khi đó \(\int\limits_{5}^{2}{\left[ 2-4f\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Ông A muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(2304\,{{\text{m}}^{3}}\). Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 600000 đồng/\({{\text{m}}^{\text{2}}}\). Nếu ông A biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông A trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu (biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)?
-
Với các số thực a>0 bất kì, rút gọn biểu thức \(P={{\log }_{2}}{{a}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{b}^{2}}\) ta được
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm \(M\left( 2;-3;4 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left( -2;4;1 \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
-
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biên thiên như sau.
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Có bao nhiêu số nguyên y, sao cho ứng với mỗi số nguyên y có tối đa 100 số nguyên x thỏa mãn \({{3}^{y-2x}}\ge {{\log }_{5}}\left( x+{{y}^{2}} \right)\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=2\sin 2x\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x\) là
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{5}^{x}}\) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm \(A\left( 1\,;-1\,;3 \right)\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{-1}\), \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\). Phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng \({{d}_{1}}\) và cắt thẳng \({{d}_{2}}\).
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y để phương trình \(\ln \left( {{\log }_{5}}y+\ln \left( {{\log }_{5}}y+\sin x \right) \right)=\sin x\) có nghiệm?
-
Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - x + 2} \right) = 1\) là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=-2-3i\) và \({{z}_{2}}=1+i\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) là điểm nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;2;-3 \right)\) và \(B\left( 3;-2;-1 \right)\). Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là:
