Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y để phương trình \(\ln \left( {{\log }_{5}}y+\ln \left( {{\log }_{5}}y+\sin x \right) \right)=\sin x\) có nghiệm?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({\log _5}y = m\) và u = ln(m+sinx) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {m + \sin x} \right)\\ \ln \left( {m + u} \right) = \sin x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {e^u} = m + \sin x\\ {e^{\sin x}} = m + u \end{array} \right.\)
Từ hệ phương trình ta suy ra: \({e^u} + u = {e^{\sin x}} + \sin x\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {e^t} + t\) có \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0,\forall t \in R\) ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên R
Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( u \right) = f\left( {\sin x} \right) \Leftrightarrow u = \sin x\)
Khi đó ta được: \(\ln \left( {m + \sin x} \right) = \sin x \Leftrightarrow {e^{\sin x}} - \sin x = m\,\left( {**} \right)\)
Đặt a = sinx, \(a \in [-1;1]\) Phương trình (**) trở thành: ea - a = m (**)
Xét hàm số g(a) = ea - a liên tục trên [-1;1]
\(g'\left( a \right) = {e^a} - 1\).
\(g'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 0\).
Bảng biến thiên:
.PNG)
Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(a) = g(1) = e - 1,\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(a) = g(0) = 1\).
Hệ phương trình ban đầu có nghiệm ⇔ phương trình (**) có nghiệm ⇔ \(1 \le m \le e - 1\)
\( \Leftrightarrow 1 \le {\log _5}y \le e - 1 \Leftrightarrow 5 \le y \le {5^{e - 1}}\). Vì y nguyên nên \(5 \le y \le 15\), suy ra có 11 số nguyên y.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=2\sin 2x\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{2}}=6\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Một hình trụ có bán kính đáy r=5cm, chiều cao h=7cm. Diện tích xung quanh của hình trụ này là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho có giá trị cực tiểu bằng
-
Cho \(\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=10\). Khi đó \(\int\limits_{5}^{2}{\left[ 2-4f\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Cần chọn 4 người đi công tác trong một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:
-
Nghiệm của phương trình \({2^{2x - 1}} = \frac{1}{4}\) là
-
Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - x + 2} \right) = 1\) là
-
Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đường tròn đáy r là:
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.PNG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm \(A\left( 1\,;-1\,;3 \right)\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{-1}\), \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\). Phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng \({{d}_{1}}\) và cắt thẳng \({{d}_{2}}\).
-
Cho 2 số phức \({{z}_{1}}=5-7i\) và \({{z}_{2}}=2+3i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\).
-
Xét hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\), thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1 \right|=1,\left| {{z}_{2}}+2 \right|=\sqrt{3}\) và \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-1 \right|=\sqrt{6}\). Giá trị lớn nhất của \(\left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7-3i \right|\) bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên y, sao cho ứng với mỗi số nguyên y có tối đa 100 số nguyên x thỏa mãn \({{3}^{y-2x}}\ge {{\log }_{5}}\left( x+{{y}^{2}} \right)\)
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x\) là
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \(AB=A{{A}^{'}}=a,AD=2a\), (tham khảo hình bên).
.png)
Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) là \(\alpha \). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng
-
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{1}^{0}{g\left( x \right)\text{d}x}=5\) khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Số phức liên hợp của số phức \(z=-2-\sqrt{3}i\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-6y+1=0\). Tính tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\)?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=-2-3i\) và \({{z}_{2}}=1+i\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) là điểm nào dưới đây?
