Xét hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\), thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1 \right|=1,\left| {{z}_{2}}+2 \right|=\sqrt{3}\) và \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-1 \right|=\sqrt{6}\). Giá trị lớn nhất của \(\left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7-3i \right|\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \({{z}_{1}}=a+bi,\,{{z}_{2}}=c+di, a,b,c,d\in \mathbb{R}\).
Từ giả thiết ta có: \({{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1,{{\left( c+2 \right)}^{2}}+{{d}^{2}}=3\).
\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-1 \right|=\left| \left( a+1 \right)+bi-\left( c+2 \right)-di \right|=\sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow {{\left[ \left( a+1 \right)-\left( c+2 \right) \right]}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}=6 \Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}-2\left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+{{\left( c+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{d}^{2}}-2bd=6\)
\(\Leftrightarrow -2\left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]=2 \Leftrightarrow \left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]=-1\)
Ta có: \(5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7=5\left( {{z}_{1}}+1 \right)+\left( {{z}_{2}}+2 \right)=5\left( a+bi+1 \right)+\left( c+di+2 \right)\)
\(\Leftrightarrow 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7=\left( 5a+c+7 \right)+\left( 5b+d \right)i=5\left( a+1 \right)+\left( c+2 \right)+\left( 5b+d \right)i\)
\(\Rightarrow \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7 \right|=\sqrt{{{\left[ 5\left( a+1 \right)+\left( c+2 \right) \right]}^{2}}+{{\left( 5b+d \right)}^{2}}}\)
\(=\sqrt{25{{\left( a+1 \right)}^{2}}+10\left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+{{\left( c+2 \right)}^{2}}+25{{b}^{2}}+10bd+{{d}^{2}}}\)
\(=\sqrt{10\left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]+28}=3\sqrt{2}\).
Áp dụng bất đẳng thức môđun: \(\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|. \Rightarrow \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7-3i \right|\le \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7 \right|+\left| -3i \right|=3\sqrt{2}+3\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P=3\sqrt{2}+3\).
Câu hỏi liên quan
-
Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}}\)
-
Cần chọn 4 người đi công tác trong một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với \(A\left( 1;1;1 \right); B\left( -1;1;0 \right); C\left( 1;3;2 \right)\). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ \(\overrightarrow{a}\) nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?
-
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x-4\) trên \(\left[ -4;0 \right]\) lần lượt là M và m. Giá trị của M+m bằng
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=-2-3i\) và \({{z}_{2}}=1+i\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) là điểm nào dưới đây?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB=2a, AC=a và SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SBC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
-
Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong hình bên.
.PNG)
Biết f(x) đạt cực tiểu tại x=1 và f(x)+1 và f(x)-1 lần lượt chia hết cho \({{(x-1)}^{2}}\) và \({{(x+1)}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) là diện tích hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tính \({{S}_{1}}+{{S}_{2}}\).
-
Số phức liên hợp của số phức \(z=-2-\sqrt{3}i\) là
-
Nghiệm của phương trình \({2^{2x - 1}} = \frac{1}{4}\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}, f\left( -2 \right)=\frac{3}{2}\) và \(f\left( 2 \right)=2\ln 2-\frac{3}{2}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)\) bằng
-
Ông A muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(2304\,{{\text{m}}^{3}}\). Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 600000 đồng/\({{\text{m}}^{\text{2}}}\). Nếu ông A biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông A trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu (biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)?
-
Với các số thực a>0 bất kì, rút gọn biểu thức \(P={{\log }_{2}}{{a}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{b}^{2}}\) ta được
-
Một hình trụ có bán kính đáy r=5cm, chiều cao h=7cm. Diện tích xung quanh của hình trụ này là:
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x\) là
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \(AB=A{{A}^{'}}=a,AD=2a\), (tham khảo hình bên).
.png)
Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) là \(\alpha \). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu \({f}'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho 2 số phức \({{z}_{1}}=5-7i\) và \({{z}_{2}}=2+3i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\).
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({{a}^{\sqrt{5}}}.{{\left( \frac{1}{a} \right)}^{\sqrt{5}-1}}\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SA=3a, tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
Có bao nhiêu số nguyên y, sao cho ứng với mỗi số nguyên y có tối đa 100 số nguyên x thỏa mãn \({{3}^{y-2x}}\ge {{\log }_{5}}\left( x+{{y}^{2}} \right)\)
