Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong hình bên.
.PNG)
Biết f(x) đạt cực tiểu tại x=1 và f(x)+1 và f(x)-1 lần lượt chia hết cho \({{(x-1)}^{2}}\) và \({{(x+1)}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) là diện tích hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tính \({{S}_{1}}+{{S}_{2}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).
Theo bài ra f(x) + 1 và f(x) - 1 lần lượt chia hết cho \({(x - 1)^2}\) và \({(x + 1)^2}\) nên ta có thể phân tích thành nhân tử như sau:
\(\left\{ \begin{array}{l} f(x) + 1 = a{(x - 1)^2}(x - m)\\ f(x) - 1 = a{(x + 1)^2}(x - n) \end{array} \right.\)
Kết hợp với bài ra ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l} f(1) + 1 = 0\\ f( - 1) - 1 = 0\\ f(0) = 0\\ f'(1) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b + c + d + 1 = 0\\ - a + b - c + d - 1 = 0\\ d = 0\\ 3a + 2b + c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = 0\\ c = - \frac{3}{2}\\ d = 0 \end{array} \right.\)
Do đó \(f(x) = \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}x\)
Ta có \(f(x)=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right.\).
\({{S}_{1}}\) là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị y=f(x);y=-1;x=0;x=1
Nên \({{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x+1 \right)}dx=\frac{3}{8}\)
\({{S}_{2}}\) là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị \(y=f(x);y=0;x=1;x=\sqrt{3}\)
Nên \({{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{3}}+\frac{3}{2}x \right)}dx=\frac{1}{2}\).
Vậy \({{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}=\frac{7}{8}\) (đvdt).
Câu hỏi liên quan
-
Xét hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\), thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1 \right|=1,\left| {{z}_{2}}+2 \right|=\sqrt{3}\) và \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-1 \right|=\sqrt{6}\). Giá trị lớn nhất của \(\left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7-3i \right|\) bằng
-
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{1}^{0}{g\left( x \right)\text{d}x}=5\) khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({{a}^{\sqrt{5}}}.{{\left( \frac{1}{a} \right)}^{\sqrt{5}-1}}\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \({2^{2x - 1}} = \frac{1}{4}\) là
-
Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - x + 2} \right) = 1\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-6y+1=0\). Tính tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\)?
-
Cho \(\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=10\). Khi đó \(\int\limits_{5}^{2}{\left[ 2-4f\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu \({f}'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
.PNG)
Đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
-
Đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với \(A\left( 1;1;1 \right); B\left( -1;1;0 \right); C\left( 1;3;2 \right)\). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ \(\overrightarrow{a}\) nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SA=3a, tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}, f\left( -2 \right)=\frac{3}{2}\) và \(f\left( 2 \right)=2\ln 2-\frac{3}{2}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)\) bằng
-
Một hình trụ có bán kính đáy r=5cm, chiều cao h=7cm. Diện tích xung quanh của hình trụ này là:
-
Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đường tròn đáy r là:
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{2}}=6\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Ông A muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(2304\,{{\text{m}}^{3}}\). Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 600000 đồng/\({{\text{m}}^{\text{2}}}\). Nếu ông A biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông A trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu (biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)?
-
Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Hỏi thể tích khối lăng trụ là:
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x\) là
-
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x-4\) trên \(\left[ -4;0 \right]\) lần lượt là M và m. Giá trị của M+m bằng
