Có bao nhiêu số phức z thỏa \(\left| z+1-2i \right|=\left| \overline{z}+3+4i \right|\) và \(\frac{z-2i}{\overline{z}+i}\) là một số thuần ảo?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z=x+yi\,\,(x,y\in \mathbb{R})\).
Theo bài ra ta có
\(\left| {x + 1 + \left( {y - 2} \right)i} \right| = \left| {x + 3 + \left( {4 - y} \right)i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \Leftrightarrow y = x + 5\)
Số phức \({\rm{w}} = \frac{{z - 2i}}{{\overline z + i}} = \frac{{x + \left( {y - 2} \right)i}}{{x + \left( {1 - y} \right)i}} = \frac{{{x^2} - \left( {y - 2} \right)\left( {y - 1} \right) + x\left( {2y - 3} \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\)
w là một số thuần ảo khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - \left( {y - 2} \right)\left( {y - 1} \right) = 0\\ {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} > 0\\ y = x + 5\\ x\left( {2y - 3} \right) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{12}}{7}\\ y = \frac{{23}}{7} \end{array} \right.\).
Vậy \(z = - \frac{{12}}{7} + \frac{{23}}{7}i\). Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}, f\left( -2 \right)=\frac{3}{2}\) và \(f\left( 2 \right)=2\ln 2-\frac{3}{2}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)\) bằng
-
Cho 2 số phức \({{z}_{1}}=5-7i\) và \({{z}_{2}}=2+3i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\).
-
Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong hình bên.
.PNG)
Biết f(x) đạt cực tiểu tại x=1 và f(x)+1 và f(x)-1 lần lượt chia hết cho \({{(x-1)}^{2}}\) và \({{(x+1)}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) là diện tích hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tính \({{S}_{1}}+{{S}_{2}}\).
-
Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Hỏi thể tích khối lăng trụ là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu \({f}'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;2;1 \right)\) và đi qua điểm A(0;4;-1) là.
-
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biên thiên như sau.
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.PNG)
-
Đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với \(A\left( 1;1;1 \right); B\left( -1;1;0 \right); C\left( 1;3;2 \right)\). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ \(\overrightarrow{a}\) nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm \(A\left( 1\,;-1\,;3 \right)\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{-1}\), \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\). Phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng \({{d}_{1}}\) và cắt thẳng \({{d}_{2}}\).
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB=2a, AC=a và SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SBC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=75\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\left( {{m}^{2}}+2m \right)x-\left( {{m}^{2}}+4m-1 \right)y+2\left( 3m-1 \right)z+{{m}^{2}}+1=0\). A là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì khối nón có đỉnh là A, đường tròn đáy là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có thể tích bằng bao nhiêu?
-
Tích phân \(I=\int\limits_{2}^{5}{\frac{dx}{x}}\) có giá trị bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=0;f\left( 4 \right)>4\). Biết hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-2x \right|\).
.PNG)
-
Số phức liên hợp của số phức \(z=-2-\sqrt{3}i\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm \(M\left( 2;-3;4 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left( -2;4;1 \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y để phương trình \(\ln \left( {{\log }_{5}}y+\ln \left( {{\log }_{5}}y+\sin x \right) \right)=\sin x\) có nghiệm?
-
Với các số thực a>0 bất kì, rút gọn biểu thức \(P={{\log }_{2}}{{a}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{b}^{2}}\) ta được
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x\) là
