Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB=2a, AC=a và SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SBC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Trong \(\Delta ABC\) kẻ \(CH\bot AB\).
Do \(\left\{ \begin{align} & CH\bot AB \\ & CH\bot SA \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right) \Rightarrow CH\bot SB\left( 1 \right)\).
\(BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}\).
\(CH=\frac{CA.CB}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
\(BH=\sqrt{B{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\frac{3}{2}a\).
Trong \(\Delta SAB\) kẻ \(HK\bot SB \Rightarrow CK\bot SB\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SBC \right)\) là \(\widehat{CKH}=60{}^\circ \).
Trong vuông \(\Delta CKH\) có \(HK=CH.\cot 60{}^\circ =\frac{a}{2}\).
\(\Delta SAB\) đồng dạng với \(\Delta HKB\) nên \(\frac{SA}{HK}=\frac{AB}{BK}=\frac{2a}{a\sqrt{2}} \Rightarrow SA=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
Thể tích hình chóp S.ABC là \(V=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}} =\frac{1}{3}\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{1}{2}.a.\sqrt{3}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\).
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với \(A\left( 1;1;1 \right); B\left( -1;1;0 \right); C\left( 1;3;2 \right)\). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ \(\overrightarrow{a}\) nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?
-
Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Hỏi thể tích khối lăng trụ là:
-
Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}}\)
-
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biên thiên như sau.
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{2}}=6\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=-2-3i\) và \({{z}_{2}}=1+i\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) là điểm nào dưới đây?
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({{a}^{\sqrt{5}}}.{{\left( \frac{1}{a} \right)}^{\sqrt{5}-1}}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}, f\left( -2 \right)=\frac{3}{2}\) và \(f\left( 2 \right)=2\ln 2-\frac{3}{2}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)\) bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên y, sao cho ứng với mỗi số nguyên y có tối đa 100 số nguyên x thỏa mãn \({{3}^{y-2x}}\ge {{\log }_{5}}\left( x+{{y}^{2}} \right)\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho có giá trị cực tiểu bằng
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa \(\left| z+1-2i \right|=\left| \overline{z}+3+4i \right|\) và \(\frac{z-2i}{\overline{z}+i}\) là một số thuần ảo?
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y để phương trình \(\ln \left( {{\log }_{5}}y+\ln \left( {{\log }_{5}}y+\sin x \right) \right)=\sin x\) có nghiệm?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=0;f\left( 4 \right)>4\). Biết hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-2x \right|\).
.PNG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm \(M\left( 2;-3;4 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left( -2;4;1 \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
-
Cho \(\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=10\). Khi đó \(\int\limits_{5}^{2}{\left[ 2-4f\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Cho 2 số phức \({{z}_{1}}=5-7i\) và \({{z}_{2}}=2+3i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;2;1 \right)\) và đi qua điểm A(0;4;-1) là.
-
Cho 6 chữ số 4,5,6,7,8,9. Số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số đó là?
-
Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đường tròn đáy r là:
-
Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - x + 2} \right) = 1\) là
