Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;2) và mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 9\). Mặt phẳng đi qua M cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu \((S):(x-1)^2+y^2+z^2=9\) có tọa độ tâm I(1;0;0) và bán kính R = 3.
Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \left( {1; - 1;2} \right),IM = \sqrt 6 < R\) nên M nằm trong mặt cầu.
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua M và cắt (S) theo một đường tròn.
Gọi H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta có \(IH \le IM\).
Bán kính của đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} \ge \sqrt {{R^2} - I{M^2}} = \sqrt {9 - 6} = \sqrt 3 \)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(H \equiv M\).
Khi đó mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua M và nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình \(x-y+2z-7=0\).
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Nam Tiền Hải