Cho hàm số \(f(x)>0\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\), đồng thời thỏa mãn \(f'\left( 0 \right) = 0\); \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f''\left( x \right).f\left( x \right) + {\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}}} \right]^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\). Tính \(T = f\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(f''\left( x \right).f\left( x \right) + {\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{{\rm{cos}}x}}} \right]^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \frac{{f''\left( x \right).f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} = - \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\)
\(\left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]' = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \tan x + C\). Do \(\left\{ \begin{array}{l}
f'\left( 0 \right) = 0\\
f\left( 0 \right) = 1
\end{array} \right.\) nên C = 0
Do đó \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \tan x\). Suy ra \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{df\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{d\left( {{\rm{cos}}x} \right)}}{{{\rm{cos}}x}}} } \Leftrightarrow \left. {\ln f\left( x \right)} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{\pi }{3}}\\
0
\end{array} = \left. {\ln \cos x} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{\pi }{3}}\\
0
\end{array} \Leftrightarrow \ln f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) - \ln f\left( 0 \right) = \ln \frac{1}{2} \Leftrightarrow f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\)
Vậy \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Nam Tiền Hải
Câu hỏi liên quan
-
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 2 + \frac{3}{{1 - x}}\) là:
-
Tích phân \(\int\limits_1^2 {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} dx\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên.
.png)
Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) là
-
Cho số phức \(z=-1+2i\). Số phức \(\bar z\) được biểu diễn bởi điểm nào dưới đây trên mặt phẳng tọa độ?
-
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', A'D', C'D'. Góc giữa đường thẳng CP và mặt phẳng (DMN) bằng?
.PNG)
-
Gọi \(z_1, z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(4{z^2} - 8z + 5 = 0\). Giá trị của biểu thức \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\) ?
-
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(\left( H \right):y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng?
.PNG)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên [ - 1;5] để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
-
Cho các số thực dương \(x, y\) thỏa mãn \({\left( {\frac{{10}}{9}} \right)^{2{x^2} - 5xy}} \le {\left( {\frac{3}{{\sqrt {10} }}} \right)^{xy + 5{y^2}}}\). Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\frac{x}{y}\) bằng
-
Cho số phức z thỏa \(\left| z \right| = 1\). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \left| {z + 1} \right| + 2\left| {z - 1} \right|\).
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang?
-
Cho số phức \(z = {\left( {1 + i} \right)^2}\left( {1 + 2i} \right)\). Số phức z có phần ảo là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - z + 1 = 0\). Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
-
Cho \(P = {\log _{{a^4}}}{b^2}\) với \(0 < a \ne 1\) và b < 0. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos 2x\) là
-
Thầy giáo Công gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng theo hình thức lãi kép với kì hạn 4 tháng. Biết rằng lãi suất của ngân hàng là 0,5%/ tháng. Hỏi sau 2 năm thầy giáo thu được số tiền lãi gần nhất với số nào sau đây
-
Cho khối chóp S.ABC có \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = 60^\circ ,\) \(SA = a,SB = 2a,SC = 4a\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\).
-
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số, các chữ số khác nhau và đều khác 0?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 4} \right)\) với mọi \(x \in R.\) Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3 - x} \right)\) có bao nhiêu điểm cực đại?
