Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = - 2;\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 1} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^3 {f'(\sqrt {x + 1} )dx} \).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTính \(I=\int\limits_{0}^{4}{f'\left( \sqrt{x} \right)dx}\):
Đặt \(\sqrt{x}=t\Rightarrow x={{t}^{2}}\Rightarrow dx=2tdt\).
Đổi cận:
x =0 thì t = 0
x = 4 thì t = 2
\(\begin{align}I=\int\limits_{0}^{4}{f'(\sqrt{x})dx}=\int\limits_{0}^{2}{f'(t).2tdt}=2\int\limits_{0}^{2}{t.f'(t)dt}=2\int\limits_{0}^{2}{t.d(f(t))=2\left[ t.\left. f(t) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt} \right]} \\ =2\left[ 2.f\left( 2 \right)-0.f\left( 0 \right)-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \right]=2\left[ 2.\left( -2 \right)-1 \right]=-10 \\ \end{align}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Nam Tiền Hải