Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 4, chiều cao của khối chóp bằng chiều cao của tam giác đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SA. Thể tích của khối chóp M.ABC bằng?

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z + 2\overline z  = 3 + 2i\) Tính \(P=a+b\)

Cho hàm số \(f(x)>0\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\), đồng thời thỏa mãn \(f'\left( 0 \right) = 0\); \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f''\left( x \right).f\left( x \right) + {\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}}} \right]^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\). Tính \(T = f\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\).

Gọi \(z_1, z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(4{z^2} - 8z + 5 = 0\). Giá trị của biểu thức \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\) ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y - 6 = 0\) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng?

Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

Cho khối chóp S.ABC có \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = 60^\circ ,\) \(SA = a,SB = 2a,SC = 4a\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho biết \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \) và \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x =  - 2} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {2x + f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;0;-1) và vuông góc với d có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-2;3). Tọa độ diểm A là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Oyz) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - z + 1 = 0\). Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

Thầy giáo Công gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng theo hình thức lãi kép với kì hạn 4 tháng. Biết rằng lãi suất của ngân hàng là 0,5%/ tháng. Hỏi sau 2 năm thầy giáo thu được số tiền lãi gần nhất với số nào sau đây

Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > 9\) là

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(\left( H \right):y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

Một lô hàng gồm 30 sản phẩm trong đó có 20 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong lô hàng. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.

Cho các số thực dương \(x, y\) thỏa mãn \({\left( {\frac{{10}}{9}} \right)^{2{x^2} - 5xy}} \le {\left( {\frac{3}{{\sqrt {10} }}} \right)^{xy + 5{y^2}}}\). Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\frac{x}{y}\) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M, cắt và vuông góc với \(\Delta\) là

Cho \(x, y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\frac{{{x^2} + 5{y^2}}}{{2{x^2} + 10xy + {y^2}}} + 1 + {x^2} - 10xy + 9{y^2} \le 0\). Gọi \(M, m\) lần lượt là giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{{{x^2} + xy + 9{y^2}}}{{xy + {y^2}}}\) .Tính \(T = 10M - m\) ?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên [ - 1;5] để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)