Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 2;0;0 \right), B\left( 0;4;0 \right), C\left( 0;0;6 \right)\). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON=2020. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\) cố định. Đường thẳng đi qua \(D\left( 0;202;10 \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo một dây cung EF,khi đó EF có độ dài ngắn nhất là.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right):\frac{x}{4}+\frac{y}{5}+\frac{z}{101}=1\Leftrightarrow 505x+404y+20z-2020=0\)
Gọi \(N\left( x;y;z \right)\)
Theo giả thiết ta có N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON=2020 suy ra \(\overrightarrow{OM}=\frac{2020}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}\)
Do đó \(M\left( \frac{2020x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{2020y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{2020z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)\)
Mặt khác \(M\in \left( ABC \right)$ nên \(505\frac{2020x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+404\frac{2020y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+20\frac{2020z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-2020=0\)
\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-505x-404y-20z=0\).
Do đó điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-505x-404y-20z=0\).
Dễ thấy D nằm trong mặt cầu, do vậy EF ngắn nhất khi và chỉ khi \(ID\bot EF\), trong đó \(I\left( \frac{505}{2};202;10 \right)\).
.png)
Khi đó \(F{{E}_{\min }}=2DF=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{D}^{2}}}=2\sqrt{{{\left( \frac{505}{2} \right)}^{2}}+{{202}^{2}}+{{10}^{2}}-{{\left( \frac{505}{2} \right)}^{2}}}=4\sqrt{10226}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tổng phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của \(z=2-3i\) là
-
Xét hàm số \(y=x+1-\frac{3}{x+2}\) trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Rút gọn \(P = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}},a > 0.\)
-
Tích phân \(\int\limits_{1}^{e}{\ln xdx}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 1;2;2 \right)\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x-y+z+3=0\) đồng thời cắt đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}\) có phương trình là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao 20m, chu vi đáy bằng 5m.
-
Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó?
-
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ.
.PNG)
Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x+2021\). Trong các mệnh đề dưới đây:
(I) \(g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)\).
(II) \(\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -1 \right)\).
(III) Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -3;-1 \right)\).
(IV) \(\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}\).
Số mệnh đề đúng là
-
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x - 3}}\)
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
.PNG)
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+3.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới:
.PNG)
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:
-
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.PNG)
-
Trên mặt phẳng tọa độ, cho số phức \(\left( 1+i \right)z=3-i\), điểm biểu diễn số phức z là
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( O{A}'{B}' \right)\) và \(\left( O{C}'{D}' \right)\) bằng
-
Gọi \(l,\text{ }h,\text{ }R\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( a;b;1 \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+z-3=0\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả banh. gọi S1 là tổng diện tích của ba quả banh, S2 là diện tích xung quanh hình trụ. Tỷ số diện tích \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng \(\left( -2000;2000 \right)\) để \(4{{a}^{\sqrt{{{\log }_{a}}b}}}-{{b}^{\sqrt{{{\log }_{b}}a}}}>m\sqrt{{{\log }_{a}}b}+3\) với mọi \(a,b\in \left( 1;+\infty \right)\)
