Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 2;0;0 \right), B\left( 0;4;0 \right), C\left( 0;0;6 \right)\). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON=2020. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\) cố định. Đường thẳng đi qua \(D\left( 0;202;10 \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo một dây cung EF,khi đó EF có độ dài ngắn nhất là.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right):\frac{x}{4}+\frac{y}{5}+\frac{z}{101}=1\Leftrightarrow 505x+404y+20z-2020=0\)
Gọi \(N\left( x;y;z \right)\)
Theo giả thiết ta có N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON=2020 suy ra \(\overrightarrow{OM}=\frac{2020}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}\)
Do đó \(M\left( \frac{2020x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{2020y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{2020z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)\)
Mặt khác \(M\in \left( ABC \right)$ nên \(505\frac{2020x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+404\frac{2020y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+20\frac{2020z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-2020=0\)
\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-505x-404y-20z=0\).
Do đó điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-505x-404y-20z=0\).
Dễ thấy D nằm trong mặt cầu, do vậy EF ngắn nhất khi và chỉ khi \(ID\bot EF\), trong đó \(I\left( \frac{505}{2};202;10 \right)\).
.png)
Khi đó \(F{{E}_{\min }}=2DF=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{D}^{2}}}=2\sqrt{{{\left( \frac{505}{2} \right)}^{2}}+{{202}^{2}}+{{10}^{2}}-{{\left( \frac{505}{2} \right)}^{2}}}=4\sqrt{10226}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B=10\,\left( {{\text{m}}^{2}} \right)\) và chiều cao \(h=6\,\left( \text{m} \right)\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với \(A\left( -2;4;1 \right), B\left( 1;1;-6 \right), C\left( 0;-2;3 \right)\). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
-
Cho \(\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{-1}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-1\). Tính \(I=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f\left( x \right)+3g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+3.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho tứ diện OABC có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc và \(OA=OB=2a,\,\,OC=a\sqrt{2}\). Khoảng cách từ O đến mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( O{A}'{B}' \right)\) và \(\left( O{C}'{D}' \right)\) bằng
-
Có bao nhiêu số phức z đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| z+i \right|=2\) và \({{\left( z-2 \right)}^{4}}\) là một số thực?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( 2\,;2;\,0 \right), B\left( 1;0;2 \right), C\left( 0;4;4 \right)\). Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng tổng quát là \({{u}_{n}}=3n-2\). Tìm công sai d của cấp số cộng
-
Cho hàm số \(y={{x}^{2}}-mx \left( 0<m<2020 \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \({{S}_{1}}+{{S}_{2}}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\), trục hoành, trục tung và đường thẳng x=2020. Giá trị của m sao cho \({{S}_{2}}={{S}_{1}}\) là
.PNG)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Bất phương trình \({2^{{x^2} - 3x + 4}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 10}}\) có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới:
.PNG)
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:
-
Cho a, b là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x - 3}}\)
-
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 1;-2;0 \right), B\left( 2;-1;3 \right), C\left( 0;-1;1 \right)\). Đường trung tuyến AM của tam giác ABC có phương trình là
-
Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 3{x^2};x \ge 1\\ 5 - x\,;x < 1 \end{array} \right.\). Tính \(I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x + 3\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right){\rm{d}}x} } \).
-
Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=2\) và \(\left| {{z}_{2}} \right|=3,\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{17}\). Gọi M,m lần lượt là các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(T=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-10-12i \right|\). Khi đó M.n bằng
-
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ.
.PNG)
Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x+2021\). Trong các mệnh đề dưới đây:
(I) \(g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)\).
(II) \(\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -1 \right)\).
(III) Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -3;-1 \right)\).
(IV) \(\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}\).
Số mệnh đề đúng là
