Trong các nghiệm (x;y) thỏa mãn bất phương trình \({\log _{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1.\) Giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2x + y bằng

A. \(\frac{9}{4}.\)

B. \(\frac{9}{2}.\)

C. \(\frac{9}{8}.\)

D. 9

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

TH1: \({{x}^{2}}+2{{y}^{2}}>1.\) Đặt \(z=y\sqrt{2},\) suy ra \({{x}^{2}}+{{z}^{2}}>1\text{ }\left( 1 \right).\) Khi đó:

\({{\log }_{{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}}\left( 2x+y \right)\ge 1\Leftrightarrow 2x+y\ge {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\Leftrightarrow 2x+\frac{z}{\sqrt{2}}\ge {{x}^{2}}+{{z}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}\ge \frac{9}{8}\text{ }\left( 2 \right).\)

Tập hợp các điểm \(M\left( x;y \right)\) là miền \(\left( H \right)\) bao gồm miền ngoài của hình tròn \(\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{z}^{2}}=1\) và miền trong của hình tròn \(\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\frac{9}{8}.\)

Hệ \(\left\{ \begin{array}{l} T = 2x + \frac{z}{{\sqrt 2 }}\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge \frac{9}{8}\\ {x^2} + {z^2} > 1 \end{array} \right.\) có nghiệm khi đường thẳng \(d:2x + \frac{z}{{\sqrt 2 }} - T = 0\) có điểm chung với miền (H)

Để T đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng d phải tiếp xúc với đường tròn (C₂) nghĩa là ta có \(d\left( {I,d} \right) = \frac{3}{{2\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \left| {T - \frac{9}{4}} \right| = \frac{9}{4} \Leftrightarrow T = \frac{9}{2}\) với \(I\left( {1;\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\).

TH2. \(0 < {x^2} + 2{y^2} < 1\) ta có

\({\log _{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 2x + y \le {x^2} + 2{y^2} \Leftrightarrow T = 2x + y < 1\) (loại).

Vậy \(\max T = \frac{9}{2}.\)

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài