Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng \(1{{\operatorname{m}}^{2}}\) và cạnh \(BC=x\left( \operatorname{m} \right)\) để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật ABCD thành 2 hình chữ nhật ADNM và BCNM, trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM; phần hình chữ nhật BCNM được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox thừa được bỏ đi) Tính gần đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể).
.png)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(AB.BC=1\Rightarrow AB=\frac{1}{BC}=\frac{1}{x}\left( \operatorname{m} \right)\).
Gọi \(r\left( \operatorname{m} \right)\) là bán kính đáy hình trụ inox gò được, ta có chu vi hình tròn đáy bằng \(BC=x\left( \operatorname{m} \right).\) Do đó \(2\pi r=x\Leftrightarrow r=\frac{x}{2\pi }\left( \operatorname{m} \right)\).
Như vậy \(BM=2r=\frac{x}{\pi }\Rightarrow AM=AB-BM=\frac{1}{x}-\frac{x}{\pi }\left( \operatorname{m} \right)\).
Thể tích khối trụ inox gò được là \(V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( \frac{x}{2\pi } \right)}^{2}}.\left( \frac{1}{x}-\frac{x}{\pi } \right)=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}}x\left( \pi -{{x}^{2}} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)=x\left( \pi -{{x}^{2}} \right)\) với x>0.
\({f}'\left( x \right)=\pi -3{{x}^{2}}; {f}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=\sqrt{\frac{\pi }{3}}\);
\({f}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow x\in \left( 0;\sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)\) và \({f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x\in \left( \sqrt{\frac{\pi }{3}};+\infty \right)\)
Bởi vậy \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( \sqrt{\frac{\pi }{3}};+\infty \right)\)
Suy ra \(\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( \sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)=\frac{2\pi \sqrt{3\pi }}{9}\Rightarrow {{V}_{\max }}\Leftrightarrow f{{\left( x \right)}_{\max }}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{\pi }{3}}\approx 1,02\left( \operatorname{m} \right)\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Gò Vấp lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Với a$ là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{5}}\left( \frac{125}{a} \right)\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(A\left( -4;1;-3 \right)\) và \(B\left( 0;-1;1 \right)\) có phương trình tham số là:
-
Số phức liên hợp của số phức \(z=2-3i\) là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+4z-7=0\). Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
-
Hàm số \(y = \frac{{x - 7}}{{x + 4}}\) đồng biến trên khoảng
-
Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) và đường thẳng \(d:g\left( x \right)=mx+n\) có đồ thị như hình vẽ. Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}\) lần lượt là diện tích của các phần giới hạn như hình bên. Nếu \({{S}_{1}}=4\) thì tỷ số \(\frac{{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}}\) bằng.
.PNG)
-
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 3}}{{2x - 1}}\) là
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y-z-3=0\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?
-
Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là \(l=6~\text{cm}\) và bán kính đường tròn đáy là \(r=5~\text{cm}\). Diện tích toàn phần của khối trụ là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(C\left( -1;2;11 \right),H(-1;2;-1)\), hình nón \(\left( N \right)\) có đường cao CH=h và bán kính đáy là \(R=3\sqrt{2}\). Gọi M là điểm trên đoạn CH,\(\left( C \right)\) là thiết diện của mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với trục CH tại M của hình nón \(\left( N \right)\,.\) Gọi \(\left( {{N}'} \right)\,\) là khối nón có đỉnh H đáy là \(\left( C \right)\). Khi thể tích khối nón \(\left( {{N}'} \right)\,\) lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón \(\left( {{N}'} \right)\,\) có tọa độ tâm \(I\left( a;b,c \right),\) bán kính là d. Giá trị a+b+c+d bằng
-
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x+2\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right].\)
-
Tích phân \(\int_{1}^{2}{x\left( x+2 \right)}~\text{d}x\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4x - 1\,\,\,,\,x \ge 5\\ 2x - 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,x < 5 \end{array} \right.\). Tích phân \(\int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {3{e^x} + 1} \right).{e^x}{\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 và độ dài cạnh bên bằng 6 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
.png)
-
Cho hai số phức \(z=2+3i\) và \(w=5+i\). Số phức \(z+iw\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \frac{x}{2} \right)\) trên đoạn \(\left[ -5;3 \right]\) bằng
.PNG)
-
Đồ thị của hàm số \(y=\frac{x-3}{2x-1}\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x\). Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( -\infty ;+\infty \right),\) có bảng biến thiên như hình sau:
.PNG)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Một khối chóp có thể tích bằng 90 và diện tích đáy bằng 5. Chiều cao của khối chóp đó bằng
