Số thực dương a thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm \(y=\frac{{{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\) và \(y=\frac{{{a}^{2}}-ax}{1+{{a}^{6}}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tỉ số diện tích hình phẳng được giới hạn bởi mỗi đồ thị trên với trục hoành, x=0, x=1 là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
\(\frac{{{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}=\frac{{{a}^{2}}-ax}{1+{{a}^{6}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left( x+a \right)\left( x+2a \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-a\,\,\, \\ x=-2a \\ \end{matrix} \right.\)
Nếu a=0 thì diện tích hình phẳng S=0.
+ Nếu a>0 thì \(S=\int\limits_{-2a}^{-a}{\left| \frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}} \right|\text{d}x=}-\int\limits_{-2a}^{-a}{\frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\text{d}x=}\frac{1}{6}.\frac{{{a}^{3}}}{1+{{a}^{6}}}\)
+ Nếu a<0 thì \(S=\int\limits_{-a}^{-2a}{\left| \frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}} \right|\text{d}x=}-\int\limits_{-a}^{-2a}{\frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\text{d}x=}-\frac{1}{6}.\frac{{{a}^{3}}}{1+{{a}^{6}}}\)
Do đó, với \(a\ne 0\) thì \(S=\frac{1}{6}.\frac{{{\left| a \right|}^{3}}}{1+{{\left| a \right|}^{6}}}\le \frac{1}{6}.\frac{{{\left| a \right|}^{3}}}{2{{\left| a \right|}^{3}}}=\frac{1}{12}\).
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \({{\left| a \right|}^{3}}=1\Leftrightarrow a=\pm 1\). Vì a>0 nên a=1.
Khi đó \({{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2}\text{d}x}=\frac{13}{6}\,,{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1-x}{2}\text{d}x}=\frac{1}{4}\)
Suy ra \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{26}{3}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Hồng Đào lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)\text{d}x}=3\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ 3f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
-
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 học sinh vào một bàn dài có 5 chỗ ngồi ?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\), biết \({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{4}}=8\). Giá trị của \({{u}_{5}}\) bằng
-
Số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số \(y=\frac{mx-2}{-2x+m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( \frac{1}{2};\,+\infty\right)\) là
-
Cho b là số thực dương khác 1. Tính \(P={{\log }_{{{b}^{2}}}}\left( {{b}^{3}}.{{b}^{\frac{1}{2}}} \right)\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( 1;3;2 \right), B\left( 3;-1;4 \right)\). Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có f(-2)=0 và đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu như hình sau
.png)
Hàm số \(g\left( x \right)=\left| 15f\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-10{{x}^{6}}+30{{x}^{2}} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, \(\ldots \), 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.
-
Trong các số phức z thỏa mãn \(\left( 1+i \right)z=3-i.\) Điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm M,N,P,Q ở hình bên?
.jpg.png)
-
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[4]{x}\), với x là số thực dương.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( -1\,;\,0\,;\,0 \right), B\left( 0\,;\,0\,;\,2 \right), C\left( 0\,;-3\,;\,0 \right)\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
-
Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai khối cầu bằng nhau giao nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính 25cm khoảng cách giữa hai tâm khối cầu là 40cm. Giá mạ vàng \(1{{m}^{2}}\) là 470.000 đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó. Số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó gần nhất với giá trị nào sau đây.
-
Số giao điểm của đồ thị của hàm số \(y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-2\) với trục hoành?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, SA vuông góc với \(\left( ABCD \right), SA=a\sqrt{3}\). Thể tích của khối chóp S.ABCD là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=6\) tâm I. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z}{1}\) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh I, đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết \((\alpha )\) không đi qua gốc tọa độ, gọi \(H({{x}_{H}},{{y}_{H}},{{z}_{H}})\) là tâm của đường tròn (C). Giá trị của biểu thức \(T={{x}_{H}}+{{y}_{H}}+{{z}_{H}}\) bằng
-
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x-2}{x+4}\) là:
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{2x-1}\text{d}x}\)
-
Cho hàm số \(y=g\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
