Số thực dương a thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm \(y=\frac{{{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\) và \(y=\frac{{{a}^{2}}-ax}{1+{{a}^{6}}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tỉ số diện tích hình phẳng được giới hạn bởi mỗi đồ thị trên với trục hoành, x=0, x=1 là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
\(\frac{{{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}=\frac{{{a}^{2}}-ax}{1+{{a}^{6}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left( x+a \right)\left( x+2a \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-a\,\,\, \\ x=-2a \\ \end{matrix} \right.\)
Nếu a=0 thì diện tích hình phẳng S=0.
+ Nếu a>0 thì \(S=\int\limits_{-2a}^{-a}{\left| \frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}} \right|\text{d}x=}-\int\limits_{-2a}^{-a}{\frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\text{d}x=}\frac{1}{6}.\frac{{{a}^{3}}}{1+{{a}^{6}}}\)
+ Nếu a<0 thì \(S=\int\limits_{-a}^{-2a}{\left| \frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}} \right|\text{d}x=}-\int\limits_{-a}^{-2a}{\frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\text{d}x=}-\frac{1}{6}.\frac{{{a}^{3}}}{1+{{a}^{6}}}\)
Do đó, với \(a\ne 0\) thì \(S=\frac{1}{6}.\frac{{{\left| a \right|}^{3}}}{1+{{\left| a \right|}^{6}}}\le \frac{1}{6}.\frac{{{\left| a \right|}^{3}}}{2{{\left| a \right|}^{3}}}=\frac{1}{12}\).
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \({{\left| a \right|}^{3}}=1\Leftrightarrow a=\pm 1\). Vì a>0 nên a=1.
Khi đó \({{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2}\text{d}x}=\frac{13}{6}\,,{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1-x}{2}\text{d}x}=\frac{1}{4}\)
Suy ra \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{26}{3}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Hồng Đào lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)\text{d}x}=3\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ 3f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Cho số phức \(z=a+bi(a,b\in R)\) thỏa mãn: \(\left| \frac{z-1}{z-i} \right|=1\) và \(\left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1\). Tính 2a+b
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=6\) tâm I. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z}{1}\) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh I, đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết \((\alpha )\) không đi qua gốc tọa độ, gọi \(H({{x}_{H}},{{y}_{H}},{{z}_{H}})\) là tâm của đường tròn (C). Giá trị của biểu thức \(T={{x}_{H}}+{{y}_{H}}+{{z}_{H}}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=6\) tâm I. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z}{1}\) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh I, đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết \((\alpha )\) không đi qua gốc tọa độ, gọi \(H({{x}_{H}},{{y}_{H}},{{z}_{H}})\) là tâm của đường tròn (C). Giá trị của biểu thức \(T={{x}_{H}}+{{y}_{H}}+{{z}_{H}}\) bằng
-
Biết rằng hai số phức \({{z}_{1}}, {{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-3-4\text{i} \right|=1\) và \(\left| {{z}_{2}}-3-4\text{i} \right|=\frac{1}{2}\). Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a-2b=12. Giá trị nhỏ nhất của \(P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bao nhiêu cực trị?
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{3}^{2x-1}}\) là:
-
Cho phương trình \({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\)
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }6;8]\). Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có f(-2)=0 và đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu như hình sau
.png)
Hàm số \(g\left( x \right)=\left| 15f\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-10{{x}^{6}}+30{{x}^{2}} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến \(\left( BCD \right)\) bằng
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Tính góc giữa đường thẳng \(A{B}'\) và mặt phẳng \(\left( BD{D}'{B}' \right)\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 4\,\,khi\,\,x \ge 0}\\ {{x^2} + 2\,\,khi\,\,x < 0} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{ - \pi }^0 {f\left( {2\cos x - 1} \right)sinxdx} \) bằng
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{2x-1}\text{d}x}\)
-
Trong các số phức z thỏa mãn \(\left( 1+i \right)z=3-i.\) Điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm M,N,P,Q ở hình bên?
.jpg.png)
-
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[4]{x}\), với x là số thực dương.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x+\frac{1}{3}\) trên đoạn \(\left[ 1\,;\,3 \right]\).
.png)
-
Cho hình hộp đứng \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có đáy là hình vuông, cạnh bên \(A{A}'=3a\) và đường chéo \(A{C}'=5a\). Tính thể tích V của khối khối hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) theo a.
-
Cho khối trụ có bán kính đáy \(a\sqrt{3}\) và chiều cao \(2a\sqrt{3}\). Thể tích của nó là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( -1\,;\,0\,;\,0 \right), B\left( 0\,;\,0\,;\,2 \right), C\left( 0\,;-3\,;\,0 \right)\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
