Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=6\) tâm I. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z}{1}\) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh I, đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết \((\alpha )\) không đi qua gốc tọa độ, gọi \(H({{x}_{H}},{{y}_{H}},{{z}_{H}})\) là tâm của đường tròn (C). Giá trị của biểu thức \(T={{x}_{H}}+{{y}_{H}}+{{z}_{H}}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu (S) có tâm I(1;-1;1), bán kính \(R=\sqrt{6}\)
Gọi x là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \((\alpha ), 0<x<\sqrt{6}\). Khi đó, thể tích khối nón đỉnh I, đáy là đường tròn (C) là: \(V=\frac{1}{3}x\left( 6-{{x}^{2}} \right)=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+2x\)
Xét hàm số \(f(x)=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+2x,\,\,\) với \(0<x<\sqrt{6}\)
\(f'(x)=-{{x}^{2}}+2;\,\,f'(x)=0\,\Leftrightarrow \,x=\pm \sqrt{2}\)
Hàm số y=f(x) liên tục trên \(\left[ 0;\sqrt{6} \right]\), có \(f(0)=f(\sqrt{6})=0,\,\,f(\sqrt{2})=\sqrt{2}\),
nên \(\underset{{}}{\mathop{\underset{\left( 0;\sqrt{6} \right)}{\mathop{Max}}\,\,f(x)}}\,=\sqrt{2}\), đạt được khi \(x=\sqrt{2}\).
Gọi \(\overrightarrow{u}=(1;-4;1)\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. Vì \(IH\bot (\alpha )\) nên tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow{IH}=k\overrightarrow{u}\), suy ra \(\left| \overrightarrow{IH} \right|=|k|.\left| \overrightarrow{u} \right|\,\,\Rightarrow \,|k|\,=\,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\frac{1}{3}\,\Rightarrow k\,=\,\pm \frac{1}{3}\).
Với \(k=\frac{1}{3}:\overrightarrow{IH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}\,\Rightarrow \,H\left( \frac{4}{3};-\frac{7}{3};\frac{4}{3} \right)\Rightarrow (\alpha ):x-4y+z-6=0\) (nhận vì \(O\notin (\alpha )\) )
Với \(k=-\frac{1}{3}:\overrightarrow{IH}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{u}\,\Rightarrow \,H\left( \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3} \right)\Rightarrow (\alpha ):x-4y+z=0\) ( loại vì \(O\in (\alpha )\) ).
Vậy \({{x}_{H}}+{{y}_{H}}+{{z}_{H}}=\frac{1}{3}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Hồng Đào lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha\right)\) chứa trục Ox và đi qua điểm \(M\left( 2;-1;3 \right)\).
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\), biết \({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{4}}=8\). Giá trị của \({{u}_{5}}\) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{3}\) và đi qua điểm \(A\left( 3;-4;5 \right)\) là
-
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[4]{x}\), với x là số thực dương.
-
Cho phương trình \({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\)
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }6;8]\). Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S.
-
Cho số phức \(z=a+bi(a,b\in R)\) thỏa mãn: \(\left| \frac{z-1}{z-i} \right|=1\) và \(\left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1\). Tính 2a+b
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bao nhiêu cực trị?
-
Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( -3;1;2 \right),B\left( 1;-1;0 \right)\) là
-
Tính diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy bằng 5 và chiều cao bằng 12.
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Tính góc giữa đường thẳng \(A{B}'\) và mặt phẳng \(\left( BD{D}'{B}' \right)\)
-
Trong các số phức z thỏa mãn \(\left( 1+i \right)z=3-i.\) Điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm M,N,P,Q ở hình bên?
.jpg.png)
-
Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, \(\ldots \), 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.
-
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 học sinh vào một bàn dài có 5 chỗ ngồi ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, SA vuông góc với \(\left( ABCD \right), SA=a\sqrt{3}\). Thể tích của khối chóp S.ABCD là
-
Cho số phức z thỏa mãn \(z+\left( 1-2i \right)\overline{z}=2-4i\). Môđun số phức z bằng bao nhiêu?
-
Mô đun của số phức \(5+2i-{{\left( 1+i \right)}^{6}}\) bằng
-
Đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)\text{d}x}=3\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ 3f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x-2}{x+4}\) là:
-
Số phức \(w=3-4i\) có môđun bằng
