Biết rằng hai số phức \({{z}_{1}}, {{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-3-4\text{i} \right|=1\) và \(\left| {{z}_{2}}-3-4\text{i} \right|=\frac{1}{2}\). Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a-2b=12. Giá trị nhỏ nhất của \(P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \({{M}_{1}}, {{M}_{2}}, M\) lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức \({{z}_{1}}, 2{{z}_{2}}, z\) trên hệ trục tọa độ Oxy. Khi đó quỹ tích của điểm \({{M}_{1}}\) là đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\) tâm \(I\left( 3;4 \right)\), bán kính R=1; quỹ tích của điểm \({{M}_{2}}\) là đường \(\left( {{C}_{2}} \right)\) tròn tâm \(I\left( 6;8 \right)\), bán kính R=1; quỹ tích của điểm M là đường thẳng d:3x-2y-12=0.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2\).
.jpg.png)
Gọi \(\left( {{C}_{3}} \right)\) có tâm \({{I}_{3}}\left( \frac{138}{13};\frac{64}{13} \right)\), R=1 là đường tròn đối xứng với \(\left( {{C}_{2}} \right)\) qua d. Khi đó \(\min \left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 \right)=\min \left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2 \right)\) với \({{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right)\).
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng \({{I}_{1}}{{I}_{3}}\) với \(\left( {{C}_{1}} \right), \left( {{C}_{3}} \right)\). Khi đó với mọi điểm \({{M}_{1}}\in \left( {{C}_{1}} \right), {{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right), M\in d\) ta có \(M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2\ge AB+2\), dấu "=" xảy ra khi \({{M}_{1}}\equiv A,{{M}_{3}}\equiv B\).
Do đó \({{P}_{\min }}=AB+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}-2+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}=\frac{\sqrt{9945}}{13}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Hồng Đào lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Mô đun của số phức \(5+2i-{{\left( 1+i \right)}^{6}}\) bằng
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)\text{d}x}=3\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ 3f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\left( \frac{1}{2} \right)}^{9{{x}^{2}}-17x+11}}\ge {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{7-5x}}\) là
-
Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai khối cầu bằng nhau giao nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính 25cm khoảng cách giữa hai tâm khối cầu là 40cm. Giá mạ vàng \(1{{m}^{2}}\) là 470.000 đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó. Số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó gần nhất với giá trị nào sau đây.
-
Tập nghiệm S của phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2x+3 \right)=1\).
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{2x-1}\text{d}x}\)
-
Tính diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy bằng 5 và chiều cao bằng 12.
-
Cho hàm số \(y=g\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có f(-2)=0 và đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu như hình sau
.png)
Hàm số \(g\left( x \right)=\left| 15f\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-10{{x}^{6}}+30{{x}^{2}} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[4]{x}\), với x là số thực dương.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( 1;3;2 \right), B\left( 3;-1;4 \right)\). Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=6\) tâm I. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z}{1}\) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh I, đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết \((\alpha )\) không đi qua gốc tọa độ, gọi \(H({{x}_{H}},{{y}_{H}},{{z}_{H}})\) là tâm của đường tròn (C). Giá trị của biểu thức \(T={{x}_{H}}+{{y}_{H}}+{{z}_{H}}\) bằng
-
Cho hình chóp S.AB có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC=a, biết SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và SB hợp với \(\left( ABC \right)\) một góc \(60{}^\circ \). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
-
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=-2\) và \(\int\limits_{1}^{5}{\left( 2f\left( x \right) \right)\text{d}x}=6\) khi đó \(\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{3}\) và đi qua điểm \(A\left( 3;-4;5 \right)\) là
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha\right)\) chứa trục Ox và đi qua điểm \(M\left( 2;-1;3 \right)\).
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\), biết \({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{4}}=8\). Giá trị của \({{u}_{5}}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 4\,\,khi\,\,x \ge 0}\\ {{x^2} + 2\,\,khi\,\,x < 0} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{ - \pi }^0 {f\left( {2\cos x - 1} \right)sinxdx} \) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của \(\left( S \right)\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( -1\,;\,0\,;\,0 \right), B\left( 0\,;\,0\,;\,2 \right), C\left( 0\,;-3\,;\,0 \right)\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
