Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _3}\frac{{4x + 6}}{x} \le 0\) là

Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 3 và đường cao bằng 4. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng

Số phức liên hợp của số phức z =  - 4 - i là:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của BC (Tham khảo hình vẽ dưới).

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD.

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( 2;\,1;\,-3 \right)\), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):x+y+3z-2=0, \left( R \right):2x-y+z+1=0\) là

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B và \(SA\bot \left( ABC \right)\). Biết AB=a, \(SA=a\sqrt{3}\). Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} + 2m} \right) = {\log _5}\left( {{3^x} - {m^2}} \right)\) có nghiệm?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( 1;2;-1 \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y-2z-8=0\)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 2;1;1 \right);C\left( 0;1;2 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+2}{2}.\) Lập phương trình đường thẳng \(\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\) đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và vuông góc với đường thẳng d.

Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là

Hàm số \(y =  - {x^4} + 2{x^2} + 1\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;1;2 \right)\) và \(B\left( 3;1;0 \right).\) Véctơ \(\overrightarrow{AB}\) có tọa độ là

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước \(3;4;5\) bằng

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z =  - 3i có tọa độ là

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 1;\,-2;\,-3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng x-y-2z+3=0 có phương trình là

Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-2=0\) có bán kính bằng

Cho bất phương trình \(m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right).{{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0\), với m là tham số. Có bao nhiêu  giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -2021;2021 \right]\) để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( -\infty ;0 \right]\).

Đạo hàm của hàm số \(y = {3^x} + 1\) là:

 Một khúc gỗ hình trụ có bán kính R bị cắt bởi một mặt phẳng không song song với đáy ta được thiết diện là một hình elip. Khoảng cách từ điểm A đến mặt đáy là \(12\ \text{cm}\) khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy là \(20\ \text{cm}\). Đặt khúc gỗ đó vào trong hình hộp chữ nhật cóchiều cao bằng \(20\ \text{cm}\) chứa đầy nước sao cho đường tròn đáy của khúc gỗ tiếp xúc với các cạnh đáy của hình hộp chữ nhật. Sau đó, người ta đo lượng nước còn lại trong hình hộp chữ nhật là 2 lít. Tính diện tích hình elip thiết diện ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư sau dấu phẩy và \(\pi \simeq 3,14\)).

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất  của hàm số \(y=1+x+\frac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[ -3;-1 \right]\). Tích M.m bằng?