Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình \(\ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\). Tính S.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \ln \left( {7{x^2} + 7} \right) \ge \ln \left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7{x^2} + 7 \ge m{x^2} + 4x + m\\ m{x^2} + 4x + m > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {7 - m} \right){x^2} - 4x + 7 - m \ge 0\;\;\left( 1 \right)}\\ {m{x^2} + 4x + m > 0\;\;\left( 2 \right)} \end{array}} \right. \end{array}\)
Bất phương trình đã cho đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi các bất phương trình \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\)
Xét \(\left( 7-m \right){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0 \left( 1 \right)\).
+ Khi m=7 ta có \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-4x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0\). Do đó m=7 không thỏa mãn.
+ Khi \(m\ne 7\) ta có \(\left( 1 \right)\) đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7 - m > 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 7\\ 4 - {\left( {7 - m} \right)^2} \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 7\\ m \le 5 \vee m \ge 9 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \le 5\) (*)
Xét \(m{{x}^{2}}-4x+m>0 \left( 2 \right)\)
+ Khi m=0 ta có \(\left( 2 \right)\) trở thành \(-4x>0\Leftrightarrow x<0\). Do đó m=0 không thỏa mãn.
+ Khi \(m\ne 0\) ta có \(\left( 2 \right)\) đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ \Delta ' < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ 4 - {m^2} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ m < - 2 \vee m > 2 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > 2\) (**)
Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( ** \right)\) ta có \(2<m\le 5\). Do \(m\in Z\) nên \(m\in \left\{ 3;4;5 \right\}\). Từ đó S=3+4+5=12.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Tất Thành lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-2x \right]dx=1.}\) Khi đó \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}\) bằng :
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_{1}^{{{e}^{3}}}{\frac{f\left( \operatorname{lnx} \right)}{x}}dx=7, \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \cos x \right).\sin x}dx=3\). Tính \(\int\limits_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2x \right)}dx\)
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(I\left( 1;\,\,0;\,\,-1 \right)\) và \(A\left( 2;\,\,2;\,\,-3 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là.
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-1}\) có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
-
Rút gọn biểu thức \(P={{a}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{a}\) với a>0.
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+2\) là hàm số nào trong các hàm số sau ?
-
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Trong không gian Oxyz, điểm \(M\left( 3;4;-2 \right)\) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ
.jpg.png)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, \(BC=a\sqrt{2}\), đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng \({{30}^{0}}\). Gọi h là khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng \(\left( ABC \right)\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB=a, AC=2a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABC \right)\) và \(SA=a\sqrt{3}\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
-
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}>8.\)
-
Cho khối trụ có chiều cao bằng 4a và bán kính đáy bằng 2a. Thể tích khối trụ đã cho bằng
-
Cho số phức z thỏa mãn \(5\left| z-i \right|=\left| z+1-3i \right|+3\left| z-1+i \right|\). Tìm giá trị lớn nhất M của \(\left| z-2+3i \right|\) ?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=9\). Tìm tọa độ tâm của mặt cầu \(\left( S \right).\)
-
Số phức liên hợp của số phức \(z=3i-1\) là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1-2i, {{z}_{2}}=-2+i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}{{z}_{2}}\)
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x-4\) trên đoạn \(\left[ -4;\,0 \right]\) lần lượt là M và n. Giá trị của tổng M+n bằng
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{\left( 4x-3 \right)dx}\) .
-
Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng?
