Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_{1}^{{{e}^{3}}}{\frac{f\left( \operatorname{lnx} \right)}{x}}dx=7, \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \cos x \right).\sin x}dx=3\). Tính \(\int\limits_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2x \right)}dx\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét tích phân \(A=\int\limits_{1}^{{{e}^{3}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx\)
Đặt \(t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\), đổi cận \(x=1\Rightarrow t=0, x={{e}^{3}}\Rightarrow t=3\)
Do đó \(A=\int\limits_{0}^{3}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}\)
Xét tích phân \(B=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \cos x \right).\sin x}dx\)
Đặt \(u=\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx\), đổi cận \(x=0\Rightarrow u=1, x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow u=0\)
Do đó \(A=\int\limits_{1}^{0}{-f\left( u \right)du}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}\)
Xét \(\int\limits_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2x \right)}dx=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{1}^{3}{2x}dx=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}dx-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+\left. {{x}^{2}} \right|_{1}^{3}=7-3+8=12\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Tất Thành lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB=a, AC=2a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABC \right)\) và \(SA=a\sqrt{3}\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
-
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới. Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ a\,;\,b \right]\) và \(f\left( a \right)=-2, f\left( b \right)=-4\). Tính \(T=\int\limits_{a}^{b}{{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}\).
-
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(I\left( 1;\,\,0;\,\,-1 \right)\) và \(A\left( 2;\,\,2;\,\,-3 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là.
-
Tìm đạo hàm của hàm số \(y={{\pi }^{x}}\).
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = - 1 - 4t\\ z = 5t \end{array} \right.\) đi qua điểm nào sau đây?
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-1}\) có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
-
Cho khối nón có chiều cao bằng \(2a\) và bán kính bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( 1;-4;0 \right),B\left( 3;0;0 \right)\). Viết phương trình đường trung trực \(\left( \Delta \right)\) của đoạn AB biết \(\left( \Delta \right)\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z=0\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( 2;-1;3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x-3y+z-1=0\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với \(\left( P \right)\).
-
Cho số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z}^{2}}+4 \right|=2\left| z \right|.\) Đặt \(P=8\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)-12.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Với a, b là hai số thực dương tùy ý, \(\log \left( a{{b}^{2}} \right)\) bằng
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \(~{{u}_{1}}=11\) và công sai d=4. Hãy tính \({{u}_{99}}\).
-
Khối lập phương có thể tích bằng 8. Tính độ dài cạnh của hình lập phương đó
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) với bảng xét dấu đạo hàm như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) là.
-
Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình \(\ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\). Tính S.
-
Trong không gian Oxyz, điểm \(M\left( 3;4;-2 \right)\) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
-
Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng?
