Giả sử z là số phức thỏa mãn \(\left| iz-2-i \right|=3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|\) có dạng \(\sqrt{\overline{abc}}\). Khi đó a+b+c bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\left| iz-2-i \right|=3\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-\frac{2+i}{i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-1+2i \right|=3\left( 1 \right)\)
Gọi \(z=a+bi\) với \(a,b\in \mathbb{R}\).
Từ (1), ta có \({{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=1+3\sin t \\ & b=-2+3\cos t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\).
Suy ra \(z=\left( 1+3\sin t \right)+\left( -2+3\cos t \right)i\).
Đặt \(P=2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|\). Khi đó:
\(\begin{align} & P=2\sqrt{{{\left( -3+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( -3+3\cos t \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 6+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( 6+3\cos t \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,=6\sqrt{3-2\sin t-2\cos t}+3\sqrt{9+4\sin t+4\cos t}=6\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right)}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right)} \\ \end{align}\)
Đặt \(u=\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right), u\in \left[ -1;1 \right]\).
Xét hàm số \(f\left( u \right)=6\sqrt{3-2\sqrt{2}u}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}u}\) trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\)
\(f'\left( u \right)=\frac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{3-2\sqrt{2}u}}+\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{9+4\sqrt{2}u}}\).
Cho \(f'\left( u \right)=0\Rightarrow u=\frac{-1}{\sqrt{2}}\in \left[ -1;1 \right]\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( u \right)\):
.png)
Do vậy giá trị lớn nhất của là \(9\sqrt 5 \). Dấu bằng xảy ra khi
\(u = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ t = \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2 - 2i\\ z = 1 - 5i \end{array} \right.\)
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}-4y+2\text{z}=1\) có tâm là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2x-1 \right)-2x+1\). Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) bằng
.jpg.png)
-
Cho a là số thực dương. Giá trị của biểu thức \(P\,=\,{{a}^{\frac{2}{3}}}\sqrt{a}\)
-
Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{(2x+1)\text{d}x}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): 2x-y+2z-14=0 và quả cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\). Tọa độ điểm \(H\left( a;b;c \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ H đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là lớn nhất. Gọi \(A,\,B,\,C\) lần lượt là hình chiếu của H xuống mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\,,\,\left( Oyz \right)\,,\,\left( Ozx \right)\). Gọi S là diện tích tam giác ABC, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
-
Công thức tính diện tích toàn phần của hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây
.jpg.png)
Gọi \(m,\,n\) là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=\left| {{f}^{3}}\left( x \right)-3f\left( x \right) \right|\). Đặt \(T={{n}^{m}}\) hãy chọn mệnh đề đúng?
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) và thỏa mãn \(f(1)=-\frac{1}{2}\) và
\(f(x)+x{f}'(x)=\left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right){{f}^{2}}(x),\forall x\in [1;2].\) Giá trị của tích phân \(\int_{1}^{2} x f(x) d x\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A(1\,;2\,;\,3)\) và \(B(3\,;\,4\,;\,-1)\). Véc tơ \(\overrightarrow{AB}\) có tọa độ là
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 2\,;\,3\,;\,-1 \right),B\left( 1\,;\,-1\,;\,2 \right)\) có phương trình tham số là:
-
Chọn ngẫu nhiên một quân bài trong bộ bài tây 52 quân. Xác suất đề chọn được một quân 2 bằng:
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.PNG)
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Điềm cực đại của hàm số đã cho là:
-
Một hình lập phương có cạnh là 4, một hình trụ có đáy nội tiếp đáy hình lập phương chiều cao bằng chiều cao hình hình lập phương. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ.
.PNG)
Hàm số \(f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\). Khi đó \(J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ và đi qua điểm \(A\left( 0;3;0 \right)\) có phương trình là:
-
Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chi phương của đường thằng AB biết tọa độ điểm \(A\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)\) và tọa độ điểm \(B(3\,;\,2\,;\,1)?\)
-
Nghiệm của phương trình \({\log _9}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) và hàm số \(y=g\left( x \right)={{x}^{2}}-{{m}^{2}}\), với \(0<m<\sqrt{2}\) là tham số thực. Gọi \({{S}_{1}},\,{{S}_{2}},\,{{S}_{3}},\,{{S}_{4}}\) là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Ta có diện tích \({{S}_{1}}+{{S}_{4}}={{S}_{2}}+{{S}_{3}}\) tại \({{m}_{0}}\). Chọn mệnh đề đúng.
.jpg.png)
