Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ nhỏ hơn $500$ sao cho ứng với mỗi $y$ tồn tại ít nhất 9 số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình sau  ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-y+1\le {{\log }_{2}}\frac{\sqrt{2y+1}}{{{x}^{2}}+1}$?

Cho hàm số $y=\frac{x+a}{bx+c}$ có đồ thị như hình dưới:

Khẳng định nào đúng?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a.$ Góc giữa đường thẳng $A{B}'$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $30{}^\circ$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và ${B}'{C}'$. Mặt phẳng $\left( {A}'MN \right)$ cắt $BC$ tại $P$. Thể tích khối đa diện $MBP.{A}'{B}'N$ bằng?

Xét các số phức $w,{{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1+2i \right|+\left| {{z}_{1}}-5-6i \right|=10$ và $\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$, $5w=\left( 2+i \right)\left( {{z}_{2}}-4 \right)$. Gọi $a$ là GTNN của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 1\,;\,1\,;\,2 \right)$, $B\left( 2\,;\,3;\,-3 \right)$. Tìm phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ thuộc trục $Oy$ và đi qua hai điểm $A,\,B$?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là ${f}'(x)=(2-x){{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-m \right)}^{2021}},\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $(-2021 ; 2022)$ của tham số $\mathrm{m}$ để hàm số $g(x)=f\left(x^{2}-2\right)+\frac{1}{2} x^{4}-4 x^{2}+2022$ có đúng 5 điểm cực trị?

Xét tích phân sau đây $I=\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x}{1+\cos x}dx}$. Nếu đặt $t=\cos x$ thì tích phân $I$ trở thành?

Số giá trị nguyên nhỏ hơn $2020$ của tham số $m$ để phương trình sau ${{{\log }_{6}}\left( 2020x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1010x \right)}$ có nghiệm là?

Trong không gian cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9$. Từ điểm $A\left( 4;0;1 \right)$ nằm ngoài mặt cầu kẻ 1 tiếp tuyến bất kỳ đến $\left( S \right)$ với tiếp điểm $M$. Tập hợp tất cả các điểm $M$ là đường tròn có bán kính bằng?

Trong mặt phẳng tọa độ $O\,xy,\,$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $3+\overline{iz}$ là số thuần ảo, là 1 đường thẳng có phương trình?

Tìm mặt phẳng chứa $\left( \Delta  \right)$ và song song với $AB$ có phương trình là?

Một hình nón có bán kính đáy bằng $3$, đường sinh bằng $5$. Diện tích xung quanh Sxq của hình nón là?

Hàm số nào có đồ thị như đường cong trong hình bên?

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y={{x}^{3}}$ & $y=2{{x}^{2}}$ là?

Cho số phức $z$ thỏa mãn rằng $3z+2\overline{z}={{\left( 4-i \right)}^{2}}$. Mô đun của số phức $z$ là?

Cho tập hợp $A$ có $7$ phần tử. Cho biết số tập con có $3$ phần tử của tập $A$ là?

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( 2;-3;1 \right)$ và mp $\left( \alpha  \right):x+3y-z+2=0$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình là?

TXĐ của hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)}^{-10}}$ là?

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=-{{x}^{4}}+\left( m-5 \right){{x}^{2}}+4$ có 3 điểm cực trị?

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có BBT như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Cho hình nón đỉnh $S$ có bán kính đáy bằng $5a$. Gọi $A$ và $B$ là 2 điểm thuộc đường tròn đáy sao cho $AB=8a$. Biết mặt phẳng $\left( SAB \right)$ tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}$, diện tích xung quanh $S$ của hình nón đã cho bằng?