Có bao nhiêu số nguyên a \(\left( a>3 \right)\) để phương trình \(\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\) có nghiệm \(x>81\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\) (1)
+ Với \(x>81\), suy ra \({\log _3}x > 4\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{{\log }_3}x} \right)^{\log a}} + 3 > 0\\ {\log _3}x - 3 > 0 \end{array} \right.\).
+ Ta có (1) \(\Leftrightarrow \log a.{{\log }_{a}}\left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{\left( {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right)}^{\log a}}={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\)
\(\Leftrightarrow {{\left( {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right)}^{\log a}}={{\log }_{3}}x-3\).
+ Đặt \(y={{\log }_{3}}x\Rightarrow y>4\).
Đặt \(m=\log a>0\). Ta có phương trình \({{\left( {{y}^{m}}+3 \right)}^{m}}=m-3\) (2).
+ Đặt \(t={{y}^{m}}+3>0\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {t^m} = y - 3\\ t = {y^m} + 3 \end{array} \right. \Rightarrow {y^m} + y = {t^m} + t\) (3).
+ Xét hàm \(f\left( t \right)={{t}^{m}}+t\) với \(m>0,\,\,t>0\) có \(f\left( t \right)=m.{{t}^{m-1}}+1>0,\,\,\forall t>0\).
Suy ra \(f\left( t \right)={{t}^{m}}+t\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0\,;+\,\infty \right)\).
+ Do đó (3) \(\Leftrightarrow y=t\Leftrightarrow y={{y}^{m}}+3\Leftrightarrow {{y}^{m}}=y-3\Leftrightarrow m.\log y=\log \left( y-3 \right)\) \(\Leftrightarrow m=\frac{\log \left( y-3 \right)}{\log y}\)
Với \(y>4\) ta được: \(0<\frac{\log \left( y-3 \right)}{\log y}<1\).
Do a nguyên và a>3 nên \(a\in \left\{ 4\,;5\,;6\,;7;8\,;9 \right\}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Một hình nón có bán kính đáy \(r=4\)cm và độ dài đường sinh \(l=5\)cm. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x+1}{1-x}\) là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+i\) và \({{z}_{2}}=2+i\). Trên mặt phẳng tọa độ, giả sử \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{1}}\), \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{2}}\). Gọi \(I\)là trung điểm \(AB\). Khi đó, \(I\) biểu diễn cho số phức
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua \(A\left( -1\,;\,1\,;\,3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):6x+3y-2z+18=0\) có phương trình tham số là
-
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;3;0 \right), B\left( 0;-3;0 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) nhận AB là đường kính. Hình trụ \(\left( H \right)\) là hình trụ có trục thuộc trục tung, nội tiếp với mặt cầu và có thể tích lớn nhất. Khi đó mặt phẳng chứa đáy của hình trụ đi qua điểm nào sau đây?
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{a}^{x}}\,(a>0,\,a\ne 1)\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-2{{x}^{2}}\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) lần lượt là
-
Một hình nón có diện tích đáy bằng \(16\pi \) (đvdt) có chiều cao \(h=3\). Thể tích hình nón bằng
-
Với a là số thực dương tùy ý, \(\sqrt[3]{{{a}^{2}}}\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA\bot \left( ABC \right)\). Mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) cách \(A\) một khoảng bằng \(a\) và hợp với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) một góc \(30{}^\circ \). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;-2;1 \right)\) và \(B\left( 0;2;1 \right)\)
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,3x-2y+z-11=0\). Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2\) và \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{10}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right)+1-\sqrt{3}i \right|\)
-
Gọi \(M,\ m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\) trên đoạn \(\left[ -1;\ 2 \right]\). Tính giá trị biểu thức \(P=M-2m\).
-
Cho số phức \(z=4-3i\). Môđun của số phức \(z\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}=25\) có tọa độ tâm I là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
.png)
Hàm số \(f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( 2\,;\,-3\,;\,1 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 6\,;\,1\,;\,3 \right)\) có phương trình là
-
Tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos x\text{d}x}\) bằng
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{x+2}\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
