Có bao nhiêu số nguyên a \(\left( a>3 \right)\) để phương trình \(\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\) có nghiệm \(x>81\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\) (1)
+ Với \(x>81\), suy ra \({\log _3}x > 4\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{{\log }_3}x} \right)^{\log a}} + 3 > 0\\ {\log _3}x - 3 > 0 \end{array} \right.\).
+ Ta có (1) \(\Leftrightarrow \log a.{{\log }_{a}}\left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{\left( {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right)}^{\log a}}={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\)
\(\Leftrightarrow {{\left( {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right)}^{\log a}}={{\log }_{3}}x-3\).
+ Đặt \(y={{\log }_{3}}x\Rightarrow y>4\).
Đặt \(m=\log a>0\). Ta có phương trình \({{\left( {{y}^{m}}+3 \right)}^{m}}=m-3\) (2).
+ Đặt \(t={{y}^{m}}+3>0\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {t^m} = y - 3\\ t = {y^m} + 3 \end{array} \right. \Rightarrow {y^m} + y = {t^m} + t\) (3).
+ Xét hàm \(f\left( t \right)={{t}^{m}}+t\) với \(m>0,\,\,t>0\) có \(f\left( t \right)=m.{{t}^{m-1}}+1>0,\,\,\forall t>0\).
Suy ra \(f\left( t \right)={{t}^{m}}+t\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0\,;+\,\infty \right)\).
+ Do đó (3) \(\Leftrightarrow y=t\Leftrightarrow y={{y}^{m}}+3\Leftrightarrow {{y}^{m}}=y-3\Leftrightarrow m.\log y=\log \left( y-3 \right)\) \(\Leftrightarrow m=\frac{\log \left( y-3 \right)}{\log y}\)
Với \(y>4\) ta được: \(0<\frac{\log \left( y-3 \right)}{\log y}<1\).
Do a nguyên và a>3 nên \(a\in \left\{ 4\,;5\,;6\,;7;8\,;9 \right\}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thoả mãn \(0\le x\le m\) và \({{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\frac{{{9}^{y}}-x}{2}\).
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{a}^{x}}\,(a>0,\,a\ne 1)\) là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+7x \right)>2\) là
-
Trong không gian, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y-2z+2=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{1}\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( 1\,;2\,;-1 \right)\), cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng d lần lượt tại B và C sao cho C là trung điểm AB là
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong sau ?
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) biết hàm số \(y={{f}'}'(x)\) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Đặt \(g(x)=2f\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)+f\left( -{{x}^{2}}+6 \right)\), biết rằng \(g(0)>0\) và \(g\left( 2 \right)<0\). Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y=\left| g\left( x \right) \right|\).
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2\) và \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{10}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right)+1-\sqrt{3}i \right|\)
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=5\) và \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-3\) thì \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)-3g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Với a là số thực dương tùy ý, \(\sqrt[3]{{{a}^{2}}}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;-2;1 \right)\) và \(B\left( 0;2;1 \right)\)
-
Chọn ngẫu nhiên hai số bất kì trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là số lẻ?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( 2\,;\,-3\,;\,1 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 6\,;\,1\,;\,3 \right)\) có phương trình là
-
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;3;0 \right), B\left( 0;-3;0 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) nhận AB là đường kính. Hình trụ \(\left( H \right)\) là hình trụ có trục thuộc trục tung, nội tiếp với mặt cầu và có thể tích lớn nhất. Khi đó mặt phẳng chứa đáy của hình trụ đi qua điểm nào sau đây?
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(\log a=x,\,\,\log b=y\) . Tính \(P=\log \left( \frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{5}}} \right)\)
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x+1}{1-x}\) là
-
Tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos x\text{d}x}\) bằng
-
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
.jpg.png)
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
-
Gọi \(M,\ m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\) trên đoạn \(\left[ -1;\ 2 \right]\). Tính giá trị biểu thức \(P=M-2m\).
