Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2\) và \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{10}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right)+1-\sqrt{3}i \right|\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di\) với \(a,b,c,d\in \mathbb{R}.\)
Vì \(\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=4\Rightarrow \) \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4\) .
Mặt khác \({{(a+c)}^{2}}+{{(b+d)}^{2}}=10\)
\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ac+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}+2bd+{{d}^{2}}=10\Rightarrow ac+bd=1\).
Ta có \(2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}=(2a-c)+(2b-d)i\) nên
\({{\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{(2a-c)}^{2}}+{{(2b-d)}^{2}}=4({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+({{c}^{2}}+{{d}^{2}})-4(ac+bd)=16\Rightarrow \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4\).
Áp dụng bất đẳng thức \(\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|\), ta có
\(P=\left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right)+1-\sqrt{3}i \right|\le \left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right) \right|+\left| 1-\sqrt{3}i \right|\le 4.2+2=10\).
Vậy \(\max P=10\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thoả mãn \(0\le x\le m\) và \({{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\frac{{{9}^{y}}-x}{2}\).
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{a}^{x}}\,(a>0,\,a\ne 1)\) là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+7x \right)>2\) là
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x+1}{1-x}\) là
-
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(|z|={{2021}^{2}}\) và \(\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\frac{1}{2021} \right)\) là số thuần ảo?
-
Trong không gian, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y-2z+2=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{1}\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( 1\,;2\,;-1 \right)\), cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng d lần lượt tại B và C sao cho C là trung điểm AB là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+i\) và \({{z}_{2}}=2+i\). Trên mặt phẳng tọa độ, giả sử \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{1}}\), \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{2}}\). Gọi \(I\)là trung điểm \(AB\). Khi đó, \(I\) biểu diễn cho số phức
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), chiều cao bằng \(\sqrt{3}a\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}=25\) có tọa độ tâm I là
-
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;3;0 \right), B\left( 0;-3;0 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) nhận AB là đường kính. Hình trụ \(\left( H \right)\) là hình trụ có trục thuộc trục tung, nội tiếp với mặt cầu và có thể tích lớn nhất. Khi đó mặt phẳng chứa đáy của hình trụ đi qua điểm nào sau đây?
-
Gọi \(M,\ m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\) trên đoạn \(\left[ -1;\ 2 \right]\). Tính giá trị biểu thức \(P=M-2m\).
-
Công thức tính thể tích \(V\) của khối trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là:
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(\log a=x,\,\,\log b=y\) . Tính \(P=\log \left( \frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{5}}} \right)\)
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+2\) ; \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0\) và \(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{5}{4}\). Tính \(L=\underset{x\to \,{{x}_{1}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\,f\left( x \right)-2\,}{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}\).
.jpg.png)
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,3x-2y+z-11=0\). Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong sau ?
.jpg.png)
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=3\) và công sai \(d=5\). Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên dưới.
.jpg.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Với a là số thực dương tùy ý, \(\sqrt[3]{{{a}^{2}}}\) bằng
-
Cho số phức \(z=4-3i\). Môđun của số phức \(z\) bằng
