Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thoả mãn \(0\le x\le m\) và \({{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\frac{{{9}^{y}}-x}{2}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\frac{{{9}^{y}}-x}{2}\)\(\Leftrightarrow 2\left[ {{\log }_{3}}\left( x+2 \right)+1 \right]-4y={{3}^{2y}}-x\)\(\Leftrightarrow x+2+2{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)={{9}^{y}}+4y\Leftrightarrow {{3}^{{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)}}+2{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)={{3}^{2y}}+2.2y\)\(\left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+2t\) trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \({f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+2>0\)\(\forall t\in \mathbb{R}\), suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Từ \(\left( 1 \right)\) ta có: \(f\left( {{\log }_{3}}\left( x+2 \right) \right)=f\left( 2y \right)\), suy ra \({{\log }_{3}}\left( x+2 \right)=2y\).
Vì \(0\le x\le m\) nên \({{\log }_{3}}2\le {{\log }_{3}}\left( x+2 \right)\le {{\log }_{3}}\left( m+2 \right)\) \(\Rightarrow {{\log }_{3}}2\le 2y\le {{\log }_{3}}\left( m+2 \right)\).
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{3}}2\le y\le \frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)\).
Do \(y\) nguyên dương nên \(1\le y\le \frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)\).
Để có đúng 5 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thì \(\frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)=5\Leftrightarrow m={{3}^{10}}-2\)
Vậy \(m={{3}^{10}}-2\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2\) và \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{10}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\left| \left( 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 1+\sqrt{3}i \right)+1-\sqrt{3}i \right|\)
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua \(A\left( -1\,;\,1\,;\,3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):6x+3y-2z+18=0\) có phương trình tham số là
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( 2\,;\,-3\,;\,1 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 6\,;\,1\,;\,3 \right)\) có phương trình là
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;-2;1 \right)\) và \(B\left( 0;2;1 \right)\)
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), chiều cao bằng \(\sqrt{3}a\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\) bằng
-
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;3;0 \right), B\left( 0;-3;0 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) nhận AB là đường kính. Hình trụ \(\left( H \right)\) là hình trụ có trục thuộc trục tung, nội tiếp với mặt cầu và có thể tích lớn nhất. Khi đó mặt phẳng chứa đáy của hình trụ đi qua điểm nào sau đây?
-
Một hình nón có diện tích đáy bằng \(16\pi \) (đvdt) có chiều cao \(h=3\). Thể tích hình nón bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-2{{x}^{2}}\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) lần lượt là
-
Trong không gian, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y-2z+2=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{1}\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( 1\,;2\,;-1 \right)\), cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng d lần lượt tại B và C sao cho C là trung điểm AB là
-
Với a là số thực dương tùy ý, \(\sqrt[3]{{{a}^{2}}}\) bằng
-
Cho số phức \(z=4-3i\). Môđun của số phức \(z\) bằng
-
Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự 5 học sinh theo hàng ngang?
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{x+2}\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+7x \right)>2\) là
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(\log a=x,\,\,\log b=y\) . Tính \(P=\log \left( \frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{5}}} \right)\)
-
Công thức tính thể tích \(V\) của khối trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là:
-
Cho số phức \(z=3-2i\). Phần thực của số phức \(w=iz-\overline{z}\) là
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=5\) và \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-3\) thì \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)-3g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong sau ?
.jpg.png)
