Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 6x\,\,\,\,\,khi\,x \ge 2\\ \frac{2}{{2x - 5}}\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x < 2 \end{array} \right.\). Tích phân \(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f({{\ln }^{2}}x)}{x\ln x}}dx\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f({{\ln }^{2}}x)}{x\ln x}}dx\).
Đặt \(u = {\ln ^2}x\) \( \Rightarrow du = \frac{{2\ln x}}{x}dx = \frac{{2{{\ln }^2}x}}{{x\ln x}}dx = \frac{{2u}}{{x\ln x}}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{{x\ln x}} = \frac{{du}}{{2u}}.\)
Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l} x = e \Rightarrow u = 1\\ x = {e^2} \Rightarrow u = 4 \end{array} \right.\).
Khi đó
\(\begin{array}{l} I = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {\frac{{f(u)}}{u}} du = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {\frac{{f(x)}}{x}} dx = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\frac{{f(x)}}{x}} dx + \int\limits_2^4 {\frac{{f(x)}}{x}} dx} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\frac{2}{{x\left( {2x - 5} \right)}}} dx + \int\limits_2^4 {\frac{{3{x^2} + 6x}}{x}} dx} \right) = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\frac{2}{{x\left( {2x - 5} \right)}}} dx + \int\limits_2^4 {\left( {3x + 6} \right)} dx} \right)\\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{4}{5}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{2x - 5}} - \frac{1}{{2x}}} \right)} dx + \left. {\left( {\frac{{3{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_2^4} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{4}{5}.\frac{1}{2}\left. {\ln \left| {\frac{{2x - 5}}{{2x}}} \right|} \right|_1^2 + 30} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{5}\left( { - \ln 6} \right) + 30} \right] = 15 - \frac{1}{5}\ln 6 \end{array}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thoả mãn \(0\le x\le m\) và \({{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\frac{{{9}^{y}}-x}{2}\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên dưới.
.jpg.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Cho số phức \(z=3-2i\). Phần thực của số phức \(w=iz-\overline{z}\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
.jpg.png)
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong sau ?
.jpg.png)
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), chiều cao bằng \(\sqrt{3}a\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\) bằng
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{x+2}\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
.png)
Hàm số \(f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Thể tích của khối lập phương có độ dài cạnh \(a=3\) bằng
-
Trong không gian Oxyz cho \(\Delta ABC\), biết \(A\left( 1\,;\,-4\,;\,2 \right), B\left( 2\,;\,1\,;\,-3 \right), C\left( 3\,;\,0\,;\,-2 \right)\). Trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) có tọa độ là
-
Một hình nón có bán kính đáy \(r=4\)cm và độ dài đường sinh \(l=5\)cm. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên a \(\left( a>3 \right)\) để phương trình \(\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\) có nghiệm \(x>81\).
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+2\) ; \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0\) và \(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{5}{4}\). Tính \(L=\underset{x\to \,{{x}_{1}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\,f\left( x \right)-2\,}{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}\).
.jpg.png)
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;-2;1 \right)\) và \(B\left( 0;2;1 \right)\)
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,3x-2y+z-11=0\). Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) biết hàm số \(y={{f}'}'(x)\) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Đặt \(g(x)=2f\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)+f\left( -{{x}^{2}}+6 \right)\), biết rằng \(g(0)>0\) và \(g\left( 2 \right)<0\). Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y=\left| g\left( x \right) \right|\).
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=3\) và công sai \(d=5\). Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}=25\) có tọa độ tâm I là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sin 3x\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=5\) và \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-3\) thì \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)-3g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
