Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 6x\,\,\,\,\,khi\,x \ge 2\\ \frac{2}{{2x - 5}}\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x < 2 \end{array} \right.\). Tích phân \(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f({{\ln }^{2}}x)}{x\ln x}}dx\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f({{\ln }^{2}}x)}{x\ln x}}dx\).
Đặt \(u = {\ln ^2}x\) \( \Rightarrow du = \frac{{2\ln x}}{x}dx = \frac{{2{{\ln }^2}x}}{{x\ln x}}dx = \frac{{2u}}{{x\ln x}}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{{x\ln x}} = \frac{{du}}{{2u}}.\)
Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l} x = e \Rightarrow u = 1\\ x = {e^2} \Rightarrow u = 4 \end{array} \right.\).
Khi đó
\(\begin{array}{l} I = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {\frac{{f(u)}}{u}} du = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {\frac{{f(x)}}{x}} dx = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\frac{{f(x)}}{x}} dx + \int\limits_2^4 {\frac{{f(x)}}{x}} dx} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\frac{2}{{x\left( {2x - 5} \right)}}} dx + \int\limits_2^4 {\frac{{3{x^2} + 6x}}{x}} dx} \right) = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\frac{2}{{x\left( {2x - 5} \right)}}} dx + \int\limits_2^4 {\left( {3x + 6} \right)} dx} \right)\\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{4}{5}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{2x - 5}} - \frac{1}{{2x}}} \right)} dx + \left. {\left( {\frac{{3{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_2^4} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{4}{5}.\frac{1}{2}\left. {\ln \left| {\frac{{2x - 5}}{{2x}}} \right|} \right|_1^2 + 30} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{5}\left( { - \ln 6} \right) + 30} \right] = 15 - \frac{1}{5}\ln 6 \end{array}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz cho \(\Delta ABC\), biết \(A\left( 1\,;\,-4\,;\,2 \right), B\left( 2\,;\,1\,;\,-3 \right), C\left( 3\,;\,0\,;\,-2 \right)\). Trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) có tọa độ là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+7x \right)>2\) là
-
Nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2x \right)=4\)
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(\log a=x,\,\,\log b=y\) . Tính \(P=\log \left( \frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{5}}} \right)\)
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x+3m-1\). Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA\bot \left( ABC \right)\). Mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) cách \(A\) một khoảng bằng \(a\) và hợp với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) một góc \(30{}^\circ \). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
.jpg.png)
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên dưới.
.jpg.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua \(A\left( -1\,;\,1\,;\,3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):6x+3y-2z+18=0\) có phương trình tham số là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;-2;1 \right)\) và \(B\left( 0;2;1 \right)\)
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+2\) ; \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0\) và \(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{5}{4}\). Tính \(L=\underset{x\to \,{{x}_{1}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\,f\left( x \right)-2\,}{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}\).
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
.png)
Hàm số \(f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Công thức tính thể tích \(V\) của khối trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là:
-
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ?
-
Cho số phức \(z=4-3i\). Môđun của số phức \(z\) bằng
-
Chọn ngẫu nhiên hai số bất kì trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là số lẻ?
-
Một hình nón có bán kính đáy \(r=4\)cm và độ dài đường sinh \(l=5\)cm. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
-
Gọi \(M,\ m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\) trên đoạn \(\left[ -1;\ 2 \right]\). Tính giá trị biểu thức \(P=M-2m\).
-
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;3;0 \right), B\left( 0;-3;0 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) nhận AB là đường kính. Hình trụ \(\left( H \right)\) là hình trụ có trục thuộc trục tung, nội tiếp với mặt cầu và có thể tích lớn nhất. Khi đó mặt phẳng chứa đáy của hình trụ đi qua điểm nào sau đây?
