Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 2} \right) - mx + 1\) đồng biến trên R
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 2} \right) - mx + 1\) có TXĐ: D = R
Ta có \(y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 2}} - m\)
Để hàm đồng biến trên R thì \(y' \ge 0\,\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{{x^2} + 2}} - m \ge 0\,\,\,\forall x \in R\)
\( \Leftrightarrow m \le \frac{{2x}}{{{x^2} + 2}} = g\left( x \right)\,\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_ g\left( x \right)\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 2}}\) có TXĐ D = R và \(g'\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} + 2} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \)
BBT:
.PNG)
Từ BBT ta suy ra \(\mathop {\min }\limits_R g\left( x \right) = g\left( { - \sqrt 2 } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow m \le - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
m \in \left[ { - 2019; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\\
m \in Z
\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 2019; - 2018;...; - 1} \right\}\)
Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội lần 2
