Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, bạnh bên bằng \(\sqrt 2 a\). Gọi M là trung điểm AB. Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng (A'C'M)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi N là trung điểm của BC ta có MN là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN//AC\).
Ta có (A'C'M) chứa \(A'C'//AC \Rightarrow \left( {A'C'M} \right)\) cắt ABC theo giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với $AC \Rightarrow \left( {A'C'M} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\).
Vậy thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (A'C'M) là tứ giác A'C'NM.
Ta có \(MN//AC//A'C' \Rightarrow A'C'NM\) là hình thang.
Xét \(\Delta A'AM\) và \(\Delta C'CN\) có:
\(\begin{array}{l}
A'A = C'C;\angle A'AM = \angle C'CM = {90^0};AM = CN = \frac{a}{2}\\
\Rightarrow \Delta A'AM = \Delta C'CN\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A'M = C'N
\end{array}\)
Dễ dàng nhận thấy A'M và C'N không song song nên A'C'NM là hình thang cân.
.png)
Có \(A'C' = a;MN = \frac{a}{2}\)
Kẻ \(MH \bot A'C'\,\,\left( {H \in A'C'} \right);NK \bot A'C'\,\,\left( {K \in A'C'} \right)\) ta có MNKH là
hình chữ nhật \( \Rightarrow MN = HK = \frac{a}{2}\)
\( \Rightarrow A'H = C'K = \frac{{A'C' - HK}}{2} = \frac{{a - \frac{a}{2}}}{2} = \frac{a}{4}\)
Xét tam giác vuông A'AM có \(A'M = \sqrt {A'{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}\)
Xét tam giác vuông A'MH có \(MH = \sqrt {A'{M^2} - A'{H^2}} = \frac{{9{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{16}} = \frac{{a\sqrt {35} }}{4}\)
Vậy \({S_{A'C'NM}} = \frac{1}{2}\left( {A'C' + MN} \right).MH = \frac{1}{2}\left( {a + \frac{a}{2}} \right).\frac{{a\sqrt {35} }}{4} = \frac{{3\sqrt {35} {a^2}}}{{16}}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội lần 2
