Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {0;0;3} \right),\,\,B\left( { - 2;0;1} \right)\) và mặt phẳng
\(\left( \alpha \right):2x - y + 2z + 8 = 0\). Hỏi có bao nhiêu điểm C trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho tam giác ABC đều.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(C\left( {a;b;c} \right) \in \left( \alpha \right) \Rightarrow 2a - b + 2c + 8 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tam giác ABC đều \( \Leftrightarrow AB = BC = CA\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A{B^2} = A{C^2}\\
A{C^2} = B{C^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8 = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\
{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8 = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\
- 6c + 9 = 4a + 4 - 2c + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8 = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\
4a + 4c = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8 = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
a + c = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\,\,\,\,\,\,
\end{array} \right.
\end{array}\)
Ta có hệ phương trình: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a - b + 2c + 8 = 0\\
{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 8\\
a + c = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 1 - a\\
2a - b + 2\left( {1 - a} \right) + 8 = 0\\
{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 8\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)
\end{array} \right.\)
Vậy không có điểm C nào thỏa mãn.
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội lần 2
