Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Giá trị dương của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x + m\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(AB = \sqrt 5 \) thuộc khoảng nào sau đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị \(\left( C \right)\) là :
\(\begin{array}{l}\dfrac{{2x - 2}}{{x + 1}} = 2x + m\\ \Leftrightarrow 2x - 2 = \left( {2x + m} \right)\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + mx + m - 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + m + 2 = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + m + 2 = 0\) (1)
Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1\). Hay \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8\left( {m + 2} \right) > 0\\2.{\left( { - 1} \right)^2} - m + m + 2 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 16 > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4 + 4\sqrt 2 \\m < 4 - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\) (*)
Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - m}}{2}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m + 2}}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra \(A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right);B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right)\). Do đó, \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {2{x_1} + m - 2{x_2} - m} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \)
\(\begin{array}{l}AB = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{ - m}}{2}} \right)^2} - 4.\dfrac{{m + 2}}{2} = 1\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8\left( {m + 2} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = - 2\end{array} \right.\left( {t/m\left( * \right)} \right)\end{array}\)
Mà \(m > 0\) nên \(m = 10\) hay \(m \in \left( {9;15} \right)\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội lần 2
