Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -20;20 \right]\) để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn đồng thời \({{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y\) và \(\log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y\)
\(\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=\left( x+3y-9 \right)-\left( 3x+5y-10 \right)\)
\(\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}+3x+5y-10={{e}^{x+3y-9}}+x+3y-9\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{e}^{t}}+t,\text{ }t\in \mathbb{R}\).
Ta có: \({f}'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}.\) Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\(\Rightarrow 3x+5y-10=x+3y-9\Leftrightarrow 2y=1-2x\).
Thay vào phương trình thứ 2, ta được
\(\begin{align} & \log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \\ & \Leftrightarrow \log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \\ & \Leftrightarrow \,\log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)
Đặt \({{\log }_{5}}\left( x+5 \right)=t\text{ }\left( t\in \mathbb{R},\text{ }x>-5 \right)\). Khi đó phương trình (1) trở thành
\({{t}^{2}}-{{\log }_{2}}5.\left( m+6 \right)t+{{m}^{2}}+9=0\) (2).
Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nên \(\Delta ={{\left( m+6 \right)}^{2}}.\log _{2}^{2}5-4\left( {{m}^{2}}+9 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( \log _{2}^{2}5-4 \right){{m}^{2}}+12.\log _{2}^{2}5.m-36\left( 1-\log _{2}^{2}5 \right)\ge 0\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le {m_1}\\ m \ge {m_2} \end{array} \right.\) với \({{m}_{1}}\approx -43.91\) và \({{m}_{2}}\approx -2.58\)
Do \(m\in \left[ -20;20 \right]\) và \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m\in \left\{ -2;-1;0;...;19;20 \right\}\).
Vậy có 23 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trần Phú lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Gieo một con súc sắc ba lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả ba lần là.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\(\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{-2}\), vectơ nào dưới đây là vtcp của đường thẳng \(d\)?
-
Cho số phức \(z=a+bi\left( a,\,b\in \mathbb{R},\,a>0 \right)\) thỏa \(z.\bar{z}-12\left| z \right|+\left( z-\bar{z} \right)=13-10i\). Tính S=a+b.
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\cos 6x\) là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2+3i, {{z}_{2}}=-4-5i\). Số phức \(z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) là
-
Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \right)\).
.jpg.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y=\left| f\left( x+1 \right)+m \right|\) có 5 điểm cực trị?
-
Cho \(\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=1}, \int\limits_{-2}^{4}{f\left( t \right)}\text{d}t=-4\). Tính \(I=\int\limits_{2}^{4}{f\left( y \right)\text{d}y}\).
-
Cho hàm số \(y=h\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=3-i\) và \({{z}_{2}}=-1+i\). Phần ảo của số phức \({{z}_{1}}{{z}_{2}}\) bằng
-
Cho số phức z=4-5i. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \(\overline{z}\) là điểm nào?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2x-1 \right)<3\) là
-
Cho số phức z và w thỏa mãn z+w=3+4i và \(\left| z-w \right|=9\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| z \right|+\left| w \right|\).
-
Tính theo \(a\) thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là \(a\), chiều cao bằng \(2a\).
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{(2x+1)dx}\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ tâm I và bán kính \(R\) của mặt cầu có phương trình \({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5\) là :
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z=0\) và điểm \(M\left( 0;1;0 \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( C \right)\) có chu vi nhỏ nhất. Gọi \(N({{x}_{0}};\,{{y}_{0}};\,{{z}_{0}})\) là điểm thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho \(ON=\sqrt{6}\). Tính \({{y}_{0}}\).
-
Tìm các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+2\).
-
Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương \(x\)?
-
Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng \(2{{a}^{2}}\). Tính thể tích khối lăng trụ
-
Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng \(8\,m\), chiều cao \(12,5\,m\). Diện tích của cổng là
