Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thỏa mãn \({{2.3}^{x-1}}-{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-2}}+2y \right)=6y-x\,+1\) và \({{2022}^{-1}}\le y\le 2022\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Điều kiện \({{3}^{x-2}}+2y>0\).
+ Phương trình tương đương: \({{2.3}^{x-1}}-{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)=6y-x\,\,\,\left( * \right)\).
+ Đặt: \(u={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)\Rightarrow {{3}^{x-1}}+6y={{3}^{u}}\) \(\Rightarrow 6y={{3}^{u}}-{{3}^{x-1}}\).
Ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{2.3}^{x-1}}-u={{3}^{u}}-{{3}^{x-1}}-x\)
\(\Leftrightarrow {{3.3}^{x-1}}+x={{3}^{u}}+u\)\(\Leftrightarrow {{3}^{x}}+x={{3}^{u}}+u\).
+ Hàm \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên
\({{3}^{x}}+x={{3}^{u}}+u\Leftrightarrow x=u\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)\)
\(\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+6y={{3}^{x}}\)\(\Leftrightarrow y={{3}^{x-2}}\) (thỏa đk \({{3}^{x-2}}+2y>0\)).
+ Do \({{2022}^{-1}}\le y\le 2022\) nên \({{2022}^{-1}}\le {{3}^{x-2}}\le 2022\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{2022}^{-1}}\le x-2\le {{\log }_{3}}2022\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{2022}^{-1}}+2\le x\le {{\log }_{3}}2022+2\)
\(\Rightarrow -5<x<9\).
+ Do \(x\) nguyên, suy ra \(x\in \{-4;-3;....;8\}\).
\(x\in \{-4;-3;-2;-1;0;1\}\) suy ra \(y\) không nguyên do \(0<y={{3}^{x-2}}<1\).
\(x\in \{2;3;4;5;6;7;8\}\) suy ra \(y\) nguyên do \(y\in \{{{3}^{0}};{{3}^{1}};{{3}^{2}};{{3}^{3}};{{3}^{4}};{{3}^{5}};{{3}^{6}}\}\).
+ Vậy có 7 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thỏa YCBT.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Herman-Gmeiner
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB=1,AD=AA'=\sqrt{3}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(BC\). Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AC\) bằng
-
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B=6\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) bằng
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(B\) và chiều cao bằng \(h\). Thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
-
Tập xác định của hàm số \(y={{x}^{\sqrt{5}}}\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm
-
Cho các số phức \(w,\,z\) thỏa mãn \(\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|\) bằng
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\)biết \({{u}_{1}}=5,\,{{u}_{2}}=8\). Giá trị của \({{u}_{4}}\) bằng
-
Họ nguyên hàm của của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):3x+y-2z+1=0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của \((P)\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữa nhật, \(AB=2,\,AD=2\sqrt{3}\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\)bằng \(3\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
-
Cho khối nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy hai điểm \(A,B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông. Biết diện tích tam giác \(SAB\) bằng \(\sqrt{2}{{R}^{2}}\). Thể tích khối nón đã cho bằng
-
Số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là
-
Thể tích của khối trụ có chiều cao \(h=2\) và bán kính đáy \(r=3\) là
-
Giá trị của \(\int\limits_{2}^{5}{\frac{1}{x}\text{d}x}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai véctơ \(\vec{a}=\left( 2\,;\,3\,;\,2 \right)\) và \(\vec{b}=\left( 1\,;\,1\,;\,-1 \right)\). Véctơ \(\vec{a}-\vec{b}\) có toạ độ là
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{4}}\left( 14-2x \right)\ge 0\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0\,;\,2 \right]\) và thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=6\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 2\sin x \right)\cos x\text{d}x\,}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( 1\,;\,0\,;\,-2 \right)\) và bán kính \(R=4\) có phương trình là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình bên dưới.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
