Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với \(x \le 2020\) thỏa mãn điều kiện \({\log _2}\frac{{x + 2}}{{y + 1}} + {x^2} + 4x = 4{y^2} + 8y + 1\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({\log _2}\frac{{x + 2}}{{y + 1}} = 4{y^2} - {x^2} - 4x + 8y + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2} \right) - {\log _2}\left( {y + 1} \right) = 4{\left( {y + 1} \right)^2} - {\left( {x + 2} \right)^2} + 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\left( {x + 2} \right)^2} = {\log _2}2\left( {y + 1} \right) + {\left[ {2\left( {y + 1} \right)} \right]^2}\,\,\left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {t^2}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2t > 0\,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f(t)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 2} \right) = f\left( {2y + 2} \right) \Leftrightarrow x + 2 = 2y + 2 \Leftrightarrow x = 2y\).
Mà \(0 < x \le 2020 \Rightarrow 0 < y \le 1010\).
Vậy có 1010 cặp số nguyên dương (x;y).
Câu hỏi liên quan
-
Thể tích của một khối lập phương cạnh \(\dfrac12\) bằng:
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({4^x} - {3.2^x} + 2 > 0\) là:
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4{x^2} + x,y = - 1,x = 0\) và x = 1 được tính bởi công thức nào sau đây?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}x < 3\) là:
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của A(2;1;1) lên mặt phẳng có tọa độ (Oyz) là
-
Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ nhóm có 5 học sinh.
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.png)
-
Nếu \(\int\limits_1^2 {f(x)} dx = 3\) thì \(\int\limits_2^1 {5f(x)} dx\) là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Khi đó thể tích của hình chóp S.ABCD bằng:
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = -3i là điểm nào dưới đây ?
-
Cho hình trụ (T). Biết rằng khi cắt hình trụ (T) bới mặt phẳng (P) vuông góc với trục được thiết diện là đường tròn có chu vi \(6a \pi\) và cắt hình trụ (T) bới mặt phẳng (Q) song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2a, thiết diện thu được là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ (T).
-
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) là:
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 3z + 1 = 0\) song song với mặt phẳng nào dưới đây ?
-
Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a thì có diện tích toàn phần bằng
-
Xét các số thực a, b thỏa mãn: \({\log _8}({4^a}{.8^b}) = {\log _4}1\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Thể tích V của khối cầu có bán kính R = 4 bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx - \frac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
-
Cho hai số phức \({z_1} = 3 + 4i\) và \({z_2} = 4 - 3i\). Độ dài số phức \({z_1} + {z_2}\)
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 3a, \(K \in CC'\) sao cho \(CK = \frac{2}{3}CC'\). Mặt phẳng (α) qua A, K và song song với B'D' chia khối lập phương trình hai phần. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh C.
-
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _3}x + xy = {\log _3}\left( {8 - y} \right) + x\left( {8 - x} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^3} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 16x\) bằng?
