Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _3}x + xy = {\log _3}\left( {8 - y} \right) + x\left( {8 - x} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^3} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 16x\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 0 < y < 8 \end{array} \right.\).
Từ giả thiết biến đổi có:
\({\log _3}x + xy = {\log _3}\left( {8 - y} \right) + x\left( {8 - x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{x^2} + {x^2} = {\log _3}\left[ {x\left( {8 - y} \right)} \right] + x\left( {8 - y} \right)\)
Do hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) đồng thời từ giả thiết bài toán có:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} \in \left( {0; + \infty } \right)\\ x\left( {8 - y} \right) \in \left( {0; + \infty } \right)\\ f\left( {{x^2}} \right) = f\left[ {x\left( {8 - y} \right)} \right] \end{array} \right. \Rightarrow {x^2} = x\left( {8 - y} \right) \Leftrightarrow x + y = 8\)
Do x, y > 0 nên có \(x \in \left( {0;8} \right)\)
Thay vào P ta có: \(P = {x^3} - {x^2} - {\left( {8 - x} \right)^2} - 16x = {x^3} - 2{x^2} - 64\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 64;x \in \left( {0;8} \right)\) ta có \(\mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left( {0;8} \right)} = - \frac{{1760}}{{27}}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 3a, \(K \in CC'\) sao cho \(CK = \frac{2}{3}CC'\). Mặt phẳng (α) qua A, K và song song với B'D' chia khối lập phương trình hai phần. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh C.
-
Mođun của số phức z = 1 - 2i là:
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với \(x \le 2020\) thỏa mãn điều kiện \({\log _2}\frac{{x + 2}}{{y + 1}} + {x^2} + 4x = 4{y^2} + 8y + 1\).
-
Trong buổi lễ phát thưởng cho các học sinh tiêu biểu, lớp 12A có 1 học sinh, lớp 12B có 4 học sinh, lớp 12C có 5 học sinh. Các học sinh được xếp thành một hàng ngang sao cho học sinh lớp 12A luôn đứng giữa một học sinh lớp 12B và một học sinh lớp 12C. Có bao nhiêu cách xếp như vậy?
-
Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,5% mỗi tháng theo cách sau: mỗi tháng (vào đầu tháng) người đó gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng và ngân hàng tính lãi suất (lãi suất không đổi) dựa trên số tiền tiết kiệm thực tế của tháng đó. Hỏi sau 5 năm, số tiền của người đó có được gần nhất với số tiền nào dưới đây (cả gốc và lãi, đơn vị triệu đồng)?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Khi đó thể tích của hình chóp S.ABCD bằng:
-
Nghiệm của phương trình: \({2^{x + 1}} = 16\) là:
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2020x}}\).
-
Cho hai số phức \({z_1} = - 1 + i\) và \({z_2} = - 2 + 3i\). Phần ảo của số phức \({z_1} - 3{z_2}\) bằng
-
Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a thì có diện tích toàn phần bằng
-
Với a, b là hai số thực dương khác 1, ta có \({\log _{{b^2}}}a\) bằng:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\frac{{{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 2 - m}}{{x - 1}}} \right|\), trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2\,;\,3} \right]} f\left( x \right) + 2\mathop {max}\limits_{\left[ {2\,;\,3} \right]} f\left( x \right) = \frac{1}{2}\). Số phần tử của tập S là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 4z - 3 = 0\)
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 3z + 1 = 0\) song song với mặt phẳng nào dưới đây ?
-
Cho cấp số nhân với u1 = 3 và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho là:
-
Tập xác định của hàm số: \(y = {x^{\frac{2}{3}}}\) là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx - \frac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của A(2;1;1) lên mặt phẳng có tọa độ (Oyz) là
-
Cho số phức \(\overline z = (1 - i)(1 + 2i)\). Giả sử điểm M là điểm biểu diễn số phức z. Điểm M thuộc đường thẳng nào?
-
Cho hàm số bậc ba y = f(x)
.png)
