Cho x và y là những số thực không âm thỏa mãn \({x^2} + 2x + \frac{{{y^2}}}{2} - 3 = {\log _2}\frac{{\sqrt {9 - {y^2}} }}{{x + 1}}\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức T = x + y thuộc tập nào dưới đây ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(9 - {y^2} > 0 \Rightarrow 0 \le y < 3\)
\({\left( {x + 1} \right)^2} + \frac{{{y^2} - 8}}{2} = {\log _2}\frac{{\sqrt {9 - {y^2}} }}{{x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \frac{{{y^2} - 8}}{2} = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {9 - {y^2}} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right)\)
\(2{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} - 8 = {\log _2}\left( {9 - {y^2}} \right) - {\log _2}{\left( {x + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} + {\log _2}{\left( {x + 1} \right)^2} = {\log _2}\left( {\frac{{9 - {y^2}}}{2}} \right) + 2\frac{{9 - {y^2}}}{2}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 1}} + 2 > 0\,\,\forall t > 0.\)
Từ đó suy ra \(\frac{{9 - {y^2}}}{2} = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 9\).
Ta có \({\left( {x + 1 + y} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 \left( {x + 1} \right) + y} \right)^2} \le \left( {2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} \right)\left( {\frac{1}{2} + 1} \right) = \frac{{27}}{2}\)
Suy ra \(x + 1 + y \le \frac{{3\sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow x + y \le \frac{{3\sqrt 6 }}{2} - 1\).
Dấu bằng xảy ra khi \(2\left( {x + 1} \right) = y = \sqrt 6 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 6 }}{2} - 1\\ y = \sqrt 6 \end{array} \right.\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = x + y \approx 2,67\) khi \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 6 }}{2} - 1\\ y = \sqrt 6 \end{array} \right.\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \({\rm{[}}0{\rm{ }};{\rm{ }}\ln 2]\), thỏa mãn \(f(0) = 2;f(\ln 2) = 4\), biết \(\int\limits_0^{\ln 2} {{f^2}(x)d{\rm{x}} = 6} \) và \(\int\limits_0^{\ln 2} {f'(x){e^x}d{\rm{x}} = 3} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\ln 2} {f(x)d{\rm{x}}} \) bằng
-
Gọi S là các tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3mx + 8} \right|\) trên đoạn [0;3] bằng 8. Tổng các số nguyên m bằng
-
Nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình \({\log _7}\left( {3 - 2x} \right) > 1\) là
-
Cho đồ thị y = f(x) như hình vẽ sau đây. Diện tích S của hình phẳng được gạch chéo trong hình dưới dây bằng
.png)
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số nghiệm của phương trình f(x) + 17 = 0 là:
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{1 - x}}\) là
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ sau?
.png)
-
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm của CD và N là trung điểm của A'D'. Góc giữa hai đường thẳng B'M và C'N bằng
-
Môđun của số phức z = 1 - 2i bằng
-
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({25^x} - \left( {m + 1} \right){.5^x} + m = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 4\) bằng:
-
Thầy giáo tặng hết 5 quyển sách tham khảo khác nhau cho ba học sinh giỏi luyện tập. Số cách tặng để mỗi học sinh nhận được ít nhất một quyển sách là
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = \int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = 6\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} \)
-
Gọi S là tập hợp các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 3\) và đường thẳng y = 1. Tổng các phần tử của S là
-
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, \(AA' = \frac{{3a}}{2}\) (minh họa như hình vẽ). M là trung điểm của BC, góc giữa đường thẳng A'M và mặt phẳng (ABC) bằng
-
Cho hàm số \(f(x) = {2^x}{.5^{{x^2}}}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\). Tọa độ giao điểm của (P) và d là điểm nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\). Tính f'(1)?
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 5} \right)^3}\). Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} \) bằng phương pháp tích phân từng phần, khi đó:
-
Cho \(A = 3{\log _{\sqrt 3 }}\sqrt x - 6{\log _9}\left( {3x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{x}{{27}}.\) Nếu \({\log _3}x = \sqrt 7 \) thì giá trị của biểu thức A là
