Cho x và y là những số thực không âm thỏa mãn \({x^2} + 2x + \frac{{{y^2}}}{2} - 3 = {\log _2}\frac{{\sqrt {9 - {y^2}} }}{{x + 1}}\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức T = x + y thuộc tập nào dưới đây ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(9 - {y^2} > 0 \Rightarrow 0 \le y < 3\)
\({\left( {x + 1} \right)^2} + \frac{{{y^2} - 8}}{2} = {\log _2}\frac{{\sqrt {9 - {y^2}} }}{{x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \frac{{{y^2} - 8}}{2} = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {9 - {y^2}} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right)\)
\(2{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} - 8 = {\log _2}\left( {9 - {y^2}} \right) - {\log _2}{\left( {x + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} + {\log _2}{\left( {x + 1} \right)^2} = {\log _2}\left( {\frac{{9 - {y^2}}}{2}} \right) + 2\frac{{9 - {y^2}}}{2}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 1}} + 2 > 0\,\,\forall t > 0.\)
Từ đó suy ra \(\frac{{9 - {y^2}}}{2} = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 9\).
Ta có \({\left( {x + 1 + y} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 \left( {x + 1} \right) + y} \right)^2} \le \left( {2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} \right)\left( {\frac{1}{2} + 1} \right) = \frac{{27}}{2}\)
Suy ra \(x + 1 + y \le \frac{{3\sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow x + y \le \frac{{3\sqrt 6 }}{2} - 1\).
Dấu bằng xảy ra khi \(2\left( {x + 1} \right) = y = \sqrt 6 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 6 }}{2} - 1\\ y = \sqrt 6 \end{array} \right.\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = x + y \approx 2,67\) khi \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 6 }}{2} - 1\\ y = \sqrt 6 \end{array} \right.\).
Câu hỏi liên quan
-
Gọi S là tập hợp các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 3\) và đường thẳng y = 1. Tổng các phần tử của S là
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc \(\left( {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) của phương trình \(f(c{\rm{osx}}) = c{\rm{osx}}\) là
.png)
-
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm của CD và N là trung điểm của A'D'. Góc giữa hai đường thẳng B'M và C'N bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC.
-
Cho đồ thị y = f(x) như hình vẽ sau đây. Diện tích S của hình phẳng được gạch chéo trong hình dưới dây bằng
.png)
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(-1;4;2) và có bán kính R = 5 có phương trình là:
-
Cho khối trụ có chiều cao h = 3 và bán kính đáy r = 1. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} \) bằng phương pháp tích phân từng phần, khi đó:
-
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 3% một quý theo hình thức lãi kép (một quý bằng 3 tháng). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được tính từ lần gửi ban đầu đến thời điếm sau khi gửi thêm tiền lần thứ hai 1 năm, gần nhất với kết quả nào sau đây?
-
Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}\) đồng biến trên khoảng (0;2) là
-
Cho hai số phức z = 2 - 3i và w = 1 + i. Môđun của số phức \(\frac{z}{w} + w\) bằng
-
Trong không gian Oxyz đường thẳng đi qua A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là
-
Cho \(A = 3{\log _{\sqrt 3 }}\sqrt x - 6{\log _9}\left( {3x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{x}{{27}}.\) Nếu \({\log _3}x = \sqrt 7 \) thì giá trị của biểu thức A là
-
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {f(x)dx} = 6\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x)\cos xdx} \) là
-
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({25^x} - \left( {m + 1} \right){.5^x} + m = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 4\) bằng:
-
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ.
.png)
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \left( {2; - 1;3} \right),\overrightarrow b \left( {1; - 3;2} \right)\). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - 3\overrightarrow b \) là:
-
Cho hình nón đỉnh S đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho tam giác OAB là tam giác vuông. Biết \(AB\,\, = \,\,a\sqrt 2 \) và \(\widehat {SAO}\,\, = \,{60^o}.\) Thể tích khối nón là
-
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(2f\left( {3 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} } \right) = m - 3\) có nghiệm?
.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\). Tọa độ giao điểm của (P) và d là điểm nào dưới đây?
