Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm cạnh AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi N là trung điểm của BD, ta có \(AB||MN \Rightarrow AB||\left( {CMN} \right)\).
Mà \(CM \subset \left( {CMN} \right),\) suy ra \(d\left( {AB,CM} \right) = d\left( {AB,\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {CMN} \right)} \right)\).
Ta có \(CM = CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},MN = \frac{a}{2}.\)
Gọi H là trung điểm của MN, ta có \(CH \bot MN\), và \(CH = \sqrt {C{M^2} - M{H^2}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{4}.\)
Suy ra \({S_{CMN}} = \frac{1}{2}CH.MN = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{16}}.\)
Mặt khác \({V_{CDMN}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}} = \frac{1}{4}\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}.\)
Do đó \(d\left( {D,\left( {CMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{CDMN}}}}{{{S_{\Delta CMN}}}} = \frac{{a\sqrt {22} }}{{11}}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Phương trình \(f\left( {4x - {x^2}} \right) - 2 = 0\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
.PNG)
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(2;-2;3) đi qua điểm A(5;-2;1) có phương trình
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x} > 9\) là
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) với đường thẳng y = 2x + 3 là
-
Tính diện tích xung quanh của khối trụ có bán kính đáy r = 2 và độ dài đường sinh \(l = 2\sqrt 5 .\)
-
Khi cắt khối trụ (T) bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục của trụ (T) một khoảng bằng \(a\sqrt 3 \) ta được thiết diện là hình vuông có diện tích bằng 4a2. Tính thể tích V của khối trụ (T).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;0) và chứa đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;a;b} \right).\) Tính a+b.
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có chiều rộng 2a và chiều dài 3a. Chiều cao của khối chóp là 4a. Thể tích của khối chóp S.ABCD tính theo a là
-
Biết \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) và \({x_1} + 2{x_2} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với a,b là hai số nguyên dương. Tính a+b.
-
Điểm M biểu diễn số phức z = 2 – i trên mặt phẳng tọa độ Oxy là
-
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y - z + 5 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 7}}{2} = \frac{{z - 3}}{4}\). Gọi \((\beta)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta\) và song song với \((\alpha)\). Khoảng cách giữa \((\alpha)\) và \((\beta)\) là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:
.PNG)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f(x) = m có 3 nghiệm phân biệt.
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {e^{{x^2} - 2x}}.\)
-
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^4 {x\sqrt {{x^2} + 9} dx} \). Khi đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 9} \) thì tích phân đã cho trở thành
-
4 người đàn ông, 2 người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào 7 chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Xác suất để xếp đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông là
-
Nếu cạnh của một hình lập phương giảm đi 5 lần thì thể tích của hình lập phương đó giảm đi bao nhiêu lần?
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] và thỏa mãn f(0) = 2, \(\int\limits_0^2 {\left( {2x - 4} \right)f'\left( x \right)dx = 4} \). Tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
-
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - {x^3} + 2{x^2} - x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]\). Khi đó tích M.m bằng
-
Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i\) và \({z_2} = 2 - 3i\). Phần ảo của số phức \(w = 3{z_1} - 2{z_2}\) là
-
Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) = 2\) là
