Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC=AD=BC=BD=1\), mặt phẳng\(\left( ABC \right)\bot (ABD)\) và \(\left( ACD \right)\bot (BCD)\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( BCD \right)\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(CD\) và \(AB.\)
\(\Delta ACD\) cân tại \(A\) nên \(AH\bot CD\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( BCD \right) \right)=AH\)
Đặt \(AH=x.\)
\(HD=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\).
\(\Delta BCD=\Delta ACD\Rightarrow HB=HA=x\) (hai đường cao tương ứng bằng nhau).
\(\Rightarrow \frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{H{{A}^{2}}}+\frac{1}{H{{B}^{2}}}=\frac{2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{x\sqrt{2}}{2}.\)
Mặt khác, ta lại có:
\(\Delta ABD\) cân tại \(D\) nên \(DK\bot AB\Rightarrow AH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow DK\bot CK\Rightarrow \Delta KCD\) là tam giác vuông tại \)K.\)
Suy ra \(HK=\frac{1}{2}CD\Leftrightarrow HK=HD=\frac{x\sqrt{2}}{2}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( BCD \right)\) bằng \(\frac{\sqrt{6}}{3}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Hàn Thuyên lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+7x+5\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ sau
.jpg.png)
-
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
-
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{3}{x-2}\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.\,ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp \(S.\,ABCD\) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
-
Đặt \({{\log }_{2}}5=a\), \({{\log }_{3}}2=b\). Tính \({{\log }_{15}}20\) theo \(a\) và \(b\) ta được
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy là hình chữ nhật tâm \(O\), \(AB=a\), \(AD=a\sqrt{3}\), \(SA=3a\), \(SO\) vuông góc với mặt đáy \(\left( ABCD \right)\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), \(BA=a\), \(BC=a\sqrt{3}\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA=a\). Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) , có bảng biến thiên như sau. Hỏi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{f\left( x \right)+2}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
.png)
-
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
-
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau \({{3}^{2x+8}}-{{4.3}^{x+5}}+27=0\).
-
Cho \(a>1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc nhau và \(OA=OB\)\(=OC=3a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(OB\).
-
Một hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(2\) và có chiều cao bằng \(4.\) Tính thể tích khối chóp đó.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=2x-\frac{2}{{{x}^{2}}},\,\forall x\ne 0\) . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left( 0;+\infty \right)\) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị hàm \(f'(x)\) như hình vẽ
.jpg.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho hàm đa thức \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau
.jpg.png)
Có bao nhiêu giá trị của \(m\in \left[ 0;\,6 \right];\,2m\in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right)\) có đúng \(9\) điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y=\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)\left( m+\left| 2x \right| \right)\) và \(y=-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) . có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trên đoạn \(\left[ -2020;2020 \right]\) để \(\left( {{C}_{1}} \right)\) cắt \(\left( {{C}_{2}} \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt.
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên
.png)
Tìm \(m\) để phương trình \(2f(x)+m=0\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt
