Cho \(4\) số \(a,\,b,\,c,\,d\) thỏa mãn điều kiện \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a+6b-9\) và \(3c+4d=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}\) ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a+6b-9\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}.\)
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) gọi \(A\left( a;b \right),B\left( c;d \right).\)
Khi đó \(A\left( a;b \right)\) nằm trên đường tròn tâm \(I\left( 2;3 \right)\) bán kính \(R=2\) có phương trình: \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}.\) \(B\left( c;d \right)\) nằm trên đường thẳng: \(3x+4y=1.\)
Vì \(\overrightarrow{BA}=\left( a-c;b-d \right)\) nên \(P={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}={{\left| \overrightarrow{BA} \right|}^{2}}.\) Khi đó \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left| \overrightarrow{BA} \right|\) nhỏ nhất.
Khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( \Delta \right):{{d}_{\left( I,\left( \Delta \right) \right)}}=\frac{3.2+4.3-1}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{17}{5}.\) Vì \({{d}_{\left( I,\left( \Delta \right) \right)}}>R\) nên \(\left( I \right)\) và \(\left( \Delta \right)\) không giao nhau.
Suy ra \(\left| \overrightarrow{BA} \right|\) nhỏ nhất khi \(I,A,B\) thẳng hàng và \(A\) nằm giữa \(I,B\) và \(IB\bot \left( \Delta \right)\) như hình sau.
.jpg.png)
\(\min \left( \left| \overrightarrow{BA} \right| \right)={{d}_{\left( \mathsf{I,}\left( \Delta \right) \right)}}-R=\frac{17}{5}-2=\frac{7}{5}.\)
\(\min \left( P \right)=\min \left( {{\left| \overrightarrow{BA} \right|}^{2}} \right)={{\left( \frac{7}{5} \right)}^{2}}=\frac{49}{25}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Hàn Thuyên lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau \({{3}^{2x+8}}-{{4.3}^{x+5}}+27=0\).
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\), góc giữa \(A'D\) và \(CD'\) bằng:
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC=AD=BC=BD=1\), mặt phẳng\(\left( ABC \right)\bot (ABD)\) và \(\left( ACD \right)\bot (BCD)\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( BCD \right)\) là:
-
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{3}{x-2}\) bằng
-
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y=m{{x}^{4}}-\left( m-3 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}\) không có điểm cực đại là
-
Cho hàm số \(y=\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)\left( m+\left| 2x \right| \right)\) và \(y=-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) . có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trên đoạn \(\left[ -2020;2020 \right]\) để \(\left( {{C}_{1}} \right)\) cắt \(\left( {{C}_{2}} \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt.
-
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) biết độ dài cạnh đáy của lăng trụ bằng \(2\) đồng thời góc tạo bởi \({A}'C\) và đáy \(\left( ABCD \right)\) bằng \(30{}^\circ \).
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), \(BA=a\), \(BC=a\sqrt{3}\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA=a\). Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
-
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ 2;4 \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên
.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}=m.f(x)\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 2;4 \right]\) ?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA=x\), \(BC=y\), \(AB=AC=SB=SC=1\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) lớn nhất khi tổng \(\left( x+y \right)\) bằng
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). Biết \(AB=A{A}'=a\), \(AC=2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(M{A}'{B}'{C}'\) bằng
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ sau
.jpg.png)
-
Đặt \({{\log }_{2}}5=a\), \({{\log }_{3}}2=b\). Tính \({{\log }_{15}}20\) theo \(a\) và \(b\) ta được
-
Hàm số \(y=\left| {{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x+1 \right) \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AA'\), biết rằng \(AB=2a;\)\(BC=a\sqrt{7}\) và \(\text{AA}'=6a\). Khoảng cách giữa \(\text{A }\!\!'\!\!\text{ B}\) và \(CM\) là:
-
Cho hình chóp \(S.\,ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp \(S.\,ABCD\) là
-
Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào?
.jpg.png)
-
Giá trị của giới hạn \(\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+1}\) là
-
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc nhau và \(OA=OB\)\(=OC=3a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(OB\).
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\bot \left( ABCD \right)\), đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với\(AC=a\sqrt{3}\)và \(BC=a\). Tính khoảng cách giữa \(SD\) và \(BC\).
