Cho phương trình:

\({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\)

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \(S.\)

Ta có:

\({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\text{  }\left( 1 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow {{2}^{\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)={{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)\text{  }\left( 2 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2}^{t}}{{\log }_{3}}t\) với \(t\ge 2.\)

Có \(f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2.{{\log }_{3}}t+\frac{{{2}^{t}}}{t.\ln 3}={{2}^{t}}\left( \ln 2.{{\log }_{3}}t+\frac{1}{t.\ln 3} \right)>0,\forall c\in \left[ 2;+\infty  \right).\)

Hàm số \(f\left( t \right)={{2}^{t}}{{\log }_{3}}t\) đồng biến trên \(\left( 2;+\infty  \right).\)

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)=f\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)\)

            \(\Leftrightarrow \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2=\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2\Leftrightarrow \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|=\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1 = \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} + 1\\ \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1 = - \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} = \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2}{\rm{ }}\left( 3 \right)\\ \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} = - \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} - 2{\rm{ }}\left( 4 \right) \end{array} \right.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right..\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\)

Suy ra bảng biến thiên của hàm số \(g\left( \left| x \right| \right)={{\left| x \right|}^{3}}-3{{x}^{2}}\)

Để phương trình (1) có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm thì phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm hoặc phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm.

TH1: phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm

\(\left\{ \begin{array}{l} - 4 < \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 0\\ - \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} - 2 \ge - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 0\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 0\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2}\left( {\left| m \right| - 3} \right) < 0\\ {\left( {\left| m \right| - 2} \right)^2}\left( {\left| m \right| + 1} \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < m < 3\)

TH2: phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm

\(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} = 0\\ - 4 < - \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} - 2 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2}\left( {\left| m \right| - 3} \right) = 0\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} \ge - 2\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = \pm 3 \end{array} \right.\)

TH3: phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm

\(\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} = - 4\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} > 0 \end{array} \right.\\ - 4 < - \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2}\left( {\left| m \right| - 3} \right) > 0\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| m \right| > 3\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \)

Xét phương trình: \(-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2=\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}\Leftrightarrow \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1=0\) không có nghiệm nguyên.

Vậy \(S=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right\}.\) Tổng bình phương các phần tử của \(S\) là: 28.